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译者：荘世雍
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《内容简介》
喜欢数学、不擅长与人交流的男主角在升上高中后，以为会跟国中时期一样孤单的他在开学当天，遇到了一位同样对数学有兴趣的才女·米尔伽，此后，两人常常在放学后的图书室碰面讨论数学、演练算式。
一年过去，男主角的国中学妹·蒂德也加入了这个圈子，虽然一开始只是为了提升数学的成绩，不过蒂德 也慢慢地被数学的魅力吸引，而三人也透过数学连结发展出各自的关系……数学奥妙的世界就在这三个人的讨论中栩栩如生地呈现在眼前……！
《作者简介》
结城 浩 (Hirosi Yuuki)
一九六三年出生，兴趣跟工作是「写程式」与「写书」，喜欢在花好几年的时间不断地重覆阅读重一本书，也喜欢巴洛克音乐，特别喜爱巴哈的着作「赋格的艺术」以及「音乐的奉献」。本人也会吹奏「木笛（recorder）」，还喜欢看电影和散步，非常喜好「言语」本身，喜爱打字，对「经济」则没什么兴趣，个性像是个爱哭、爱撒娇的小孩子，最近因为觉得喝醉会浪费时间，所以很少去喝一杯了，不过非常喜欢跟编辑在开会讨论完之后边聊天边喝酒。
《插画简介》
SDwing
又名SD。
常常会为了职业栏该填上「自由业」或是「黑暗漫画界」而苦恼的家伙。目前从事各种绘画与影像工作，工作经历有手机游戏人物设定与原画，网路游戏「炎龙骑士团」海报插画，日本书藉「睡衣事典」等系列插画。兴趣是金发外国人跟双马尾。请大家多多指教。
不想爬楼的，请点“这里”
[ 本帖最后由 corgen 于 2008-9-18 21:57 编辑 ]
●推荐序
在每一个数学定理问世之前，数学家从发现定理，接着推导证明，直到最后完成证明手续，无不殚精竭虑，费尽无限之心力，甚至花费一生的时间，只为完成或证明一个数学式子。虽然在过程中会遇到许许多多的挫折，但逻辑思考的过程是很重要而且是无比有趣快乐的，正如书中主角和学妹所说的：「你会想要读懂算式到底是什么，这是非常好的一件事，一看到算式就停止思考的人非常多，在思考算式的内容之前就完全不想去碰它。当然，难的算式本来就不容易懂，但是就算完全不懂，也应该要想『到这里为止是我知道的，从这里之后是我不知道的』。当人说出『没办法』的时候就会停止理解，停止思考，接着会找藉口说算数学又没有多大用处，结果以后就一定会从『因为没用所以不读』变成『就算有用也读不懂』，学数学时不能有酸葡萄心理，所以愿意挑战的蒂蒂非常伟大。」
就是因为这种人性中高贵地坚持，才有许多伟大的定理出现，并进而创造人类更美好地生活。在本书中，作者藉由喜欢数学的主角，经由他的逻辑思考路线引导不同读者，从不同角度与不同方向来更进一步地认识数学之有趣及深入的一面。读者可以一方面从天才少女米尔迦身上看到数学问题之如何提出，并藉由蒂蒂的提问去了解解决问题所需要具备的基本数学知识及众多宇宙间美妙之定理与观念。在阅读本书字中，读者更重要的收获是，读者可与主角们一齐同步进行深入有趣味地思考，而在不知不觉中进入美妙的数学世界殿堂，并悠游期间而得到许多人生难以形容的快乐与愉悦。
补教界名师
沈赫哲2008.03.07
●推荐序
在浩瀚的知识中，数学是一门最基础却又最不好学习的学问，有很多基本的概念，也有更多的东西从这些概念衍生；可是想要学好数学却又不能单靠一味的死背，需要去思考问题、去厘清逻辑，很多人往往因为这些原因望之却步，失去体会靠自己的力量得到答案的甜美成就，这是一件让人惋惜的事情。
而本书除了适合本身对数学有兴趣的人阅读，也很适合从事数学教学的工作者。书中的角色有擅长数学的人，让读者跟着她华丽的解法、别出心裁的思考从题目的另一面探讨；同时也有喜欢数学却不拿手的角色，不懂的读者就可以站在与她一样的角度循序渐进地学习。或许有人会觉得学校教的数学枯燥乏味，接触本书一定可以让人改观，书中内容并非固定往某个方向钻研，而是广泛地讨论有趣的式子；不会强迫接受概念，只想让读者体会到不同的乐趣，就像书里村木老师会交给他们卡片去演练，要求的不是答案，而是从算式上获得崭新的经验及体会，这才是学习的真正价值。
如同书中所说，数学可以跨越时间，那些千年前的数学家们感受到的乐趣与成就，位于现代的我们依旧可以感同身受；不用烦恼自己的资质，能得到多少新的体认就是美好的结果，相信本书绝对不会辜负期望，可以让各位畅游在数学这个奥妙的世界中。
北一女中 数学名师
马志民
●关于网页
与本书有关的最新情报，可在以下网址获得。
http：//www.hyuki.com/girl/
此网页是作者个人网站的一部分。
●给读者
本书中有简单到小学生都懂的部分，也有连大学生都觉得困难的各种问题。
除了以言语及图像来表达登场人物的思考途径外，也会使用数学公式来表现。
当无法理解数学公式的涵义时，请先把数学公式摆在一旁，专心地享受剧情吧，蒂蒂会与你一同前进的。
而对数学有自信的读者们，在享受剧情之外，也请注意其中的数学公式，这么做的话，你可以体会到隐藏在故事背后的乐趣。
序章
不可以只是记忆。
不可以无法回忆。
——小林秀雄
我无法忘记。
我无法忘记在高中时代一起研究数学的女孩们。
用优雅的解法震撼人心的才女·米尔迦。
认真提出疑问的活泼少女·蒂蒂。
每当想起那段时光，心中就会浮现出数学公式，并跟着展开活络的思维，数学公式超越时间，向我展现欧几里得、高斯、以及尤拉等数学家的灵光一闪。
——数学，超越时间
藉由阅读数学公式，我品尝着从前数学家体会过的感动，即使这已在数百年前就被证明完毕也无所谓，现在的我确实地拥有着完成这些逻辑的快感。
——用数学，超越时间
就有如深入丛林，找出隐藏的宝藏，数学是个令人兴奋的游戏，以最佳的解法为目标，这是智力的竞赛。数学，是令人心悸的战斗。
那时候，我开始使用名为数学的武器，但是这武器却巨大到难以控制，就像无法控制自己的年少轻狂，就像无法控制对她们的深深思念。
不可以只是记忆。
不可以无法回忆。
一切的开端，是在高一的那年春天……
第一章 数列与模式
一、二、三。三即是一。
一、二、三。三即是二。
——大岛弓子『绵之国星』
1.1 在樱花树下
——高一那年春天。
开学典礼那天阳光普照。
「美丽的樱花盛开……每个人都踏出了崭新的一步……在这传统的校舍里……努力地读书跑跳……少年易老学难成……」
校长的演讲不断地诱导我进入梦乡，我推了推眼镜，忍住哈欠。
开学典礼结束后、回到教室的途中，我悄悄地离开校舍，一脚踏进了并排的樱花树间，漫步走在周围没有任何人的路上。
我现在15岁。15，16，17……毕业的时候就18岁了，会经过一个4的倍数，还有一个质数。
15＝3·5
16＝2·2·2·2＝2^4 4的倍数
17＝17 质数
18＝2·3·3＝2·3^2
现在教室里的其他同学应该正在做自我介绍吧，我最不擅长自我介绍了，到底要说出什么样的自己呢？
「我喜欢数学。兴趣是推演算式，请各位多多指教。」
会让大家目瞪口呆吧。
算了，顶多和国中时一样静静的听课，然后独自在图书室里度过推演算式的三年吧。
这时一棵格外巨大的樱花树出现在我的眼前。
而一位少女正站在树旁仰望着这棵樱花树。
大概是新生，也跟我一样是偷跑出来的吗？
于是我也抬头，昏暗的天色映入眼帘。
一阵风吹来，飞舞的樱花将少女围绕住。
少女看着我。
她有一副高挑的身材，以及漆黑的长发。
紧闭嘴唇的脸上，戴着金属框的眼镜。
她用清楚的发音念出：
「一、一、二、三。」
1 1 2 3
念了四个数字之后，少女阖上嘴并伸出手指向我，似乎是在对我说『你，就是你。请回答下一个数是什么？』
我的手也指向了自己。（要我回答？）
少女无言地点了头。食指依然指着我。
这是怎么回事？为什么走在樱花树下的我必须要玩这种猜数字的游戏呢？唔……答案是……
『1，1，2，3，……』
嗯，原来如此，我懂了。
「1，1，2，3，之后是5，接着是8，再来是13，然后是21，然后……」
少女将手心朝向我，这是停止的讯号。
这次是另一个问题，一样是4个数字。
1 4 27 256
少女又伸手指向我。
这是测验吗？
『1，4，27，256，……』
我瞬间就找到了规则。
「1，4，27，256，再来是3125吧。再来……我没办法用心算。」
少女皱了皱眉，她对回答『没办法用心算』的我摇摇头，然后将答案告诉我。
「1，4，27，256，3125，46656，……」她的声音十分清晰。
少女闭上了眼，接着像是要仰望樱花树般抬起头，她不断地将食指在空中比画着。
少女的嘴里仍然不断地念着数字，虽然她只是轻声吟咏、做着微小的动作，但是我的目光却已经离不开这个奇异的女孩，她到底想做什么？
然后她看向这里。
6 15 35 77
又是四个数字。
『6，15，35，77，……』
这问题还颇难的，我努力让头脑运转。6与15是3的倍数，但是35却不是。而35与77是7的倍数……要是能写在纸上的话或许就能解开了。
我稍微瞄了一下，樱花树下的少女仍站在树下，并用相当认真的表情看着我，就连头发沾上樱花也不以为意，看着她这种认真的态度，这果然是测验吗？
「我知道了。」
我才刚说完，少女的眼睛就为之一亮，还露出些微的笑容，这是我第一次看见她的微笑。
「6，15，35，77之后是133。」我不自觉地提高音量。
但是少女却摇摇头，露出一副「真是的」的表情，风使她的长发飞舞，也令樱花飘落。
「计算错误。」女孩的手指碰了碰眼镜。
计算错误……唔……的确如此，11 × 13＝143才对，并不是133。
少女继续发问：
6 2 8 2 10 18
这次是六个数，我稍微想了一下，最后的18真让人头痛，要是2的话就好了，这题看起来很像无意义的数字组合……不对……全都是偶数吗？……我懂了！
「再过来是4，12，10，6，……还真是个过分的难题。」我说。
「是吗？不过你不是也解出来了？」
她露出满足表情的同时也走到我的面前伸出手，她的手指相当细长。
（握手？）
我在搞不清楚的状况下和她握了手，她有双柔顺而且温暖的手。
「我是米尔迦，请多指教。」
这就是我与米尔迦的邂逅。
1.2 自家
夜晚。
我喜欢夜晚，家人沉睡后就是我的自由时间，没有任何人会打扰的世界，在那里只有我一人，摊开书本、探索世界、进入数学的丛林里，发现稀有的动物、清澈的湖水、雄壮的巨木，并与无法想像的美丽花朵邂逅。
米尔迦。
明明只是第一次见面，却谈了奇怪话题的怪人，我想她一定很喜欢数学吧，在完全没有任何说明的情况下，就突然进行起如同测验般的数学问答，我合格了吗？我回想起跟她的握手，那是非常柔软的手；还回想起些微的香味，那是淡淡的女孩香。
女孩。
我将眼镜放在书桌上，接着闭上眼回想与米尔迦的对话。
一开始的问题是1，1，2，3，5，8，13，……这是斐波那契数列。在1，1之后，将前面两数相加形成下一个数。
1，1，1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，……
下一个问题是1，4，27，256，3125，46656，……解法则是……
1^1，2^2，3^3，4^4，5^5，6^6，……
也就是说一般项为n^n，4^4或5^5还好，不过6^6的话我就无法心算了。
再来6，15，35，77，143，……则是这种规则……
2×3，3×5，5×7，7×11，11×13，……
也就是『质数×下一个质数』』11×13的计算错误是我的败笔，被米尔迦明确地说出『计算错误』还真是不堪。
最后的问题，6，2，8，2，10，18，4，12，10，6，……相当地难，因为这是十进位圆周率π的各分位数乘上2之后组成的数列。
π=3.141592653…… 圆周率
→ 3，1，4，1，5，9，2，6，5，3，…… 各分位
→ 6，2，8，2，10，18，4，12，10，6，…… 各分位乘上2
这个问题必须熟记圆周率3.141592653……否则就无法解答，不靠记忆根本无法解答。
记忆。
我喜欢数学，是因为此起记忆东西，我更喜欢思考，数学并不是要唤起陈旧的记忆，而是要拓展新的发现，记忆性的东西就只能死记，像是人名、地名、单字、元素表，没有第二种方法，但是数学不同，只要给予问题的条件，就会像将材料和道具准备好放在桌上，胜负的关键不是记忆，而是思考。
……我是这么想的。
但是，或许没有那么单纯。
同时我也注意到为什么米尔迦在出「6，2，8，2」的问题时，没有只说6，2，8，2，而是说到6，2，8，2，1O，18的原因了，若是只说6，2，8，2的话，解答就不一定只有π各分位数乘上2这种可能性，还有其他更简单的解答，例如6，2，8，2，1O，……自然也有可能像下面的数列一样，也就是每个偶数项中插入2的数列。
6，2，8，2，10，2，12，2，……
米尔迦是在考虑到这个问题之后才这样出题的。
『不过你不是也解出来了？』
她预测出我有办法解答，还露出满足的表情。
米尔迦。
在春天的阳光下与樱花飞舞的风中，不逊于这幅风景的她就站在那里，摇曳的黑发、有如指挥家般细长的手指，以及那双温暖的手与淡淡的香味。
不知为何，我的脑海里已经挥不去她的身影。
1.3 数列谜题没有正确解答
「米尔迦，为什么那时候你要出数列谜题呢？」我问道。
「那时候？」她停止计算并抬起头。
这里是图书室，打开的窗户吹进清爽的风，而窗外是一片梧桐树绿，远方还传来棒球社练习的声音……
现在是五月。
对新学校、新教室、新同学的新鲜感逐渐淡化，我回到了平淡无奇的日常作息。
我没有参加任何社团，也就是所谓的回家社，话虽如此，放学后的我并没有立刻回家，在最后的班会结束后，为了能独自推演算式，我通常会前往图书室。
就和国中时一样，我没有参加社团，而是放学后在图书室(国中称为图书间)看书，或是看看窗外的绿色，抑或是预习与复习功课。
其中最喜欢的还是推演算式，将课堂上出现过的公式在笔记本上重新组合、将原本的定义还原、重新导出公式、将定义变形、设想实例、品尝变换定理的乐趣、思考证明方式……我喜欢将这些东西记在笔记本上头。
不擅长运动、也没有可以一起玩的朋友的我，最大的乐趣就是一个人面对笔记本的时候，虽然写出算式的是我，但是并不是随便怎么写都可以，而是有一定的规则，有规则就算一种游戏，没有比这更严密、更自由的游戏了，这是历史上的数学家们挑战过的游戏，只有一支自动铅笔、一本笔记本和我的脑袋就能进行的游戏，我乐此不疲。
所以即使成为高中生，我也同样地享受一个人在图书室的乐趣。
但是，事实与原本的期望有些不同。
那就是到图书室的学生不只有我一个。
米尔迦。
她与我同班，而且她每三天会在放学后到图书室一次。
每当我一个人计算的时候，她会将自动铅笔从我的手中抽出，然后擅自在笔记本上写字，先说明一下，这本笔记本是我的，该说她旁若无人还是自由自在呢？
不过我也不讨厌她这样做，她表现出的数学虽然困难，但是有趣、刺激，而且……
「你说那时候，是指什么时候？」米尔迦咬着(我的)自动铅笔回问着。
「就是第一次见面的时候，在樱花树下……」
「啊，那个啊。没什么理由，只是刚好想到罢了，怎么突然问我这个？」
「没什么，突然想到而已。」
「喜欢那种谜题吗？」
「应该不算讨厌。」
「喔，那你知道『数列谜题没有正确解答』这句话吗？」
「什么意思？」
「譬如1，2，3，4，你认为接下来是什么？」米尔迦说道。
「当然是5吧。1，2，3，4，5……这样下去。」
「然而，这并不是一定的。例如1，2，3，4，然后在这里突然增到l0，20，30，40，再增加到100，200，300，400……这样也算是一种数列。」
「那样太卑鄙了。开始只说四个数，然后之后才出现『在这里突然增加』之类的。谁能预测到1，2，3，4之后会是1O啊？」
「是吗？那要给你几个数才可以呢？假如数列一直无限延伸的话，要提示到第几个才够呢？」
「……你所谓的『数列谜题没有正确解答』就是这个意思吗？提示的数之后有可能突然改变规律。不过，在1，2，3，4后面突然接1O的话，以问题来说未免太没意义了。」
「世界上的事不就是这么一回事吗？不晓得之后会发生什么事、与原先预测的不同……那么，你能解出这个数列的一般项吗？」
米尔迦一边说，一边将数列写在笔记本上。
1，2，3，4，6，9，8，12，18，27，……
「嗯~好像知道又好像不知道。」
「1，2，3，4之后应该是5吧。可是不是5而是6，在少数样本中规则没有出现，也就是说看不到规律。」
「嗯。」
「1，2，3，4，6，9，再来应该会更大吧，不过正好相反。9的下一个是比较小的8，原本觉得会越来越大的数列现在却反过来了，你能看出它的规律吗？」
「嗯~~除了一开始的1以外，出现的都是2和3的倍数，不过变小的部分就不太了解。」
「像这样的话就可以说明了。」
2^0·3^0，2^1·3^0，2^0·3^1，2^2·3^0，2^1·3^1，2^0·3^2，2^3·3^0，2^2·3^1，2^1·3^2，2^0·3^3，……
像这样以2和3的指数来思考的话，就可以看出结构了。」
「咦？我还是不太清楚。0次方是1，所以……
2^0·3^0=1，2^1·3^0=2，2^0·3^1=3，……
确实就像一个数列，不过……」
「嗯~写出指数了还是不懂吗？那像这样呢？」
2^0·3^0，指数的和是0
2^1·3^0，2^0·3^1，指数的和是1
2^2·3^0，2^1·3^1，2^0·3^2，指数的和是2
2^3·3^0，2^2·3^1，2^1·3^2，2^0·3^3，指数的和是3
「……原来如此。」
「说到2与3的倍数……」米尔迦说到一半。
这时候图书室的门口突然传来呼唤她的声音。
「米尔迦……差不多该走了吧！」
「啊，今天是练习的日子吗？」
米尔迦把笔还给我并朝入口的女孩走去，在要走出图书室之前，她转头向我说：
「找机会再跟你讨论『假如世界上只有两个质数』的有趣话题吧。」
她留下我一个人离开了图书室。
假如世界上只有两个质数？
这又是怎么回事？
[ 本帖最后由 朽影 于 2008-7-3 16:41 编辑 ]
第2章 名为算式的情书
我的心里 只有你
——荻尾望都『ラーギニー』
2.1 校门口
升上高二，不过只是学年标志从I变成II，今天仍旧和昨天一样没有变化……在早上之前我是这么认为的。
「请、请收下这个。」
在阴天的四月底，升高二后经过一个月的早上，我在校门口被一个女孩叫住。
她向我伸出的两手中有一封白色的信，我糊里糊涂地收下信，这个女孩向我行个礼后，就往校舍的方向跑走。
她的身高比我矮很多，也没有看过的印象，大概是刚入学的新生，我急忙将信收入口袋并向教室走去。
上次收到女生的信是在小学的时候，那时我感冒请假休息，身为班长的女孩将作业以及「大家都在等你，要快点好起来回学校上课喔！」的信送到家里……只是单纯的联络事项。
之前米尔迦说过『不晓得之后会发生什么事』，的确没错，今天未必和昨天一模一样。
口袋里的信不断在课堂中动摇着我的心。
2.2 心算问题
「这是心算问题，1024的因数有几个？」
现在是午休时间，正想把女孩的信拿出来的时候，米尔迦边咬着巧克力棒边走到我的身旁问问题，由于没有换班，所以我和米尔迦二年级仍然同班。
「用心算？」我把信放回口袋。
「我数到10之前回答。0，1，2，3……」
等一下，1024的因数……能整除l024的数，1可以，2可以，3不行，l024不能被3整除，4的话可以。啊，对了！1024是2的10次方……我急急忙忙地计算。
「……9，10，时间到。几个？」
「11个，1024的因数有11个。」
「正确答案，怎么算的？」米尔迦一边舔着拿巧克力的手指一边等我回答。
「1024用质因数分解的话就是2的10次方。所以1024就会像这样分解。」我说。
1024=2^10=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 2有10个
我接着说：「1024的因数一定能整除1024，所以因数一定是2^n，n从1到10，所以1024的因数为以下11个。」
2^0，2^1，2^2，2^3，2^4，2^5，2^6，2^7，2^8，2^9，2^10
对于我的回答，米尔迦点了点头。「答对了，那么下一个问题。将1024的因数全部加起来的和是……」
「米尔迦，抱歉。中午我有点事，晚点再聊……」我说完之后站了起来。
我不顾被打断话题、明显露出不愉快表情的米尔迦，快速地走出教室。
打断她出题真的很抱歉，1024的因数的和啊……我边走向屋顶边思考答案。
2.3 信
即使是午休，屋顶上还是没什么人，是因为天气不太好的关系吧。信封里装着白色的信纸，上面是用钢笔横写的娟秀字体。
我是今年入学的蒂德菈，是跟学长就读同所国中、小你一届的学妹，因为想跟学长讨论关于数学的事，所以写了这封信。
虽然我对数学有兴趣，不过国中的上课内容就让我很吃力，听说进高中之后数学会更深，很希望能解决这个问题。
非常抱歉在您忙碌的时候打扰了，希望能有机会与您商谈。今天放学后我会在大型教室里等您。
蒂德菈
我将这封信读了四次。
原来她叫做蒂德菈啊，摩诺·迪·德莉·蒂德莅，跟我同所国中、小我一届的学妹。不过我完全没印象，不擅长数学的学生确实很多，尤其是新生。
……先不管这些，这封信还是像连络事情用的嘛……虽然有点失望，不过算了，这样也好。
放学后在大型教室见面啊。
2.4 放学后
「……算出来了吗？」
结束了一天的课程，在我前往大型教室的途中，米尔迦突然问。
「2047。」我立刻回答，1024所有因数的和就是2047。
「是因为思考时间充裕吧。」
「大概……那明天见。」
「你要去图书室吗？」米尔迦的眼镜闪了一下。
「不，今天大概不会去了，突然有点事。」
「喔……这样的话，就出个回家作业吧。」
「这是要使用n来表达因数和的算式吗？」我问。
「不，只要写出求的过程就好了。」
2.5 大型教室
「对不起。找你出来……这个……」
刚进大型教室，就看到蒂蒂一个人紧张地等着，胸前还抱着笔记本和铅笔盒。
「我、我想和学长谈一谈，可是又不知道该怎么办。我朋友说在这里的话会比较方便，所以……」
这个大型教室必须从主校区绕过小小的中庭才能到达，主要在物理和化学课时使用，教室由阶梯构成，最下阶是讲台，这是为了让学生方便看清楚教师实验操作的配置。
我和蒂蒂坐在最后一排的长椅上，我从口袋中拿出今天早上的信。
「我已经看了这封信了。但是不好意思，我不太记得你。」
她的右手立刻在脸前左右摇晃。
「没关系，我也觉得你不会记得我的。」
「而且，为什么你会认识我啊？我在国中时应该不怎么显眼才对。」没参加社团、放学后只到图书间的人应该不会引人注目。
「啊，这个……学长你很有名喔。我……那个……」
「算了……你说想谈谈有关数学不拿手的事情，可以说明得再详细一点吗？」
「啊，好的，谢谢你……我从小学开始就觉得数学的问题很有趣。但是进国中后，不管是上课还是看课本，都常常觉得『无法完全理解』。到高中之后，老师又说数学很重要，要好好学习。所以才想要解决『无法完全理解』这个问题。」
「原来如此。所以就是因为有『无法完全理解』的问题，你的成绩也不是很好罗？」
「不，这个的话……」
蒂蒂边将食指指甲放在嘴唇上边思考，拥有一头短发、灵活滚动双眼的蒂德莅给人的感觉像是活泼的小动物——松鼠或是小猫之类的。
「像段考之类、有一定范围的考试，就不会有太大的问题。但是像模拟考，有时候就会考得很差，中间会有满大的落差。」
「上课呢？上课的时候听得懂吗？」
「上课啊……老师教的时候好像都听懂了。」
「但是却无法完全理解？」
「是啊，无法完全理解。多多少少能解题，上课也好像听得懂。可是实际上却没有完全理解。」
2.5.1 质数的定义
「那么我再问得更具体一点，你知道质数吗？」
「……嗯，应该知道。」
「应该知道啊……那你说说看质数的定义，就是回答『什么是质数』。不需要用算式，用自己的说法表达就可以了。」
「什么是质数？嗯~像5或7之类的吗？」
「嗯，5和7都是质数没错。但是5和7都只是质数的一个例子，』举例』和『定义』并不一样。什么是质数？」
「啊，好的。质数就是……『只有1和自己本身能整除自己的数』吧，这是数学老师叫我们一定要记起来的定义。」蒂蒂点点头说。
「也就是说，你认为这个定义是正确的？」
『当正整数p只能被1与p整除时，p为质数』(？)
「嗯，我觉得这是正确的。」
「不，这定义是错的。」
「咦？假如拿5当例子的话，只有1和5可以整除啊。」
「嗯，5是质数没错。但是照这个定义的话，1也会变成质数了。因为当p用1代入时，p只能被1与p整除这点是符合的，但是1并不包含在质数之内。最小的质数是2，将质数由小到大排列，会像下面的数列一样从2开始。」
2，3，5，7，11，13，17，19，……
我继续说下去：「所以前面的定义是错的，质数的定义应该如下面所写……」
『当正整数p只能被1与p整除时，p为质数，但1除除外。』
「或是从一开始就定下条件。」
『p为大于1的整数，当正整数p只能被1与p整除时，p为质数。』
「条件用算式也可以。」
『整数p>1，当p只能被1与p整除时，p为质数。』
「1不是质数啊。的确，老师好像也是这样教的，我能懂学长写的定义了。但是……」
蒂蒂突然抬起头。
「我知道了，质数不包含1，不过我还是不能认同，为什么质数不能包含1呢？包含进去会有什么不合理的地方吗？我不懂质数不能包含1的rationale。」
「rationale？」
「就是正当的理由、原理的说明、理论的根据。」
喔~这女孩也知道认同理由的重要性啊。
「……学长？」
「啊……抱歉。为什么质数不能包含1呢？很简单，是因为质因数分解的唯一性。」
「质因数分解的唯一性？唯一性是什么？」
「所谓质因数分解的唯一性就是指一正整数n的质因数分解只有一种。例如说24的质因数分解只有2×2×2×3一种。啊，在这里不考虑数字的排列顺序，像2×2×3×2或3×2×2×2之类，虽然顺序不同仍然视为同样的质因数分解。质因数分解的唯一性在数学里是相当重要的，为了要遵守这个性质，所以就定义1不能为质数。」
「为了要遵守这个性质？因为这个原因就可以擅自定义吗？」
「可以的。虽然说擅自有点夸张……数学家会找出对构成数学世界有用的数学概念，然后将它命名，这就是定义。将概念清楚地规定下来，就能勉强算是定义了。但是，可以定义和这个定义能不能派上用场又是两回事，在你的定义里，质数包含1，会使质因数分解的唯一性消失。话说回来，你懂质因数分解的唯一性了吗？」
「唔，懂了……吧。」
「嗯~为什么说『吧』？必须确定自己是否理解才行。」我特别强调了『自己』。
「要怎么确定自己是否理解了呢？」
「例如举个适当的例子来确定是否理解了。『举例是理解的试金石』。虽然举例并非定义，但是适当地举例也是一种很好的练习。」
『举例若质数包含1，则质因数分解的唯一性无法成立』
「原来是这样。假如质数包含1，则24的质因数分解，就会像这样有很多种……』
2×2×2×3
1×2×2×2×3
1×1×2×2×2×3
……
「是的。这就是质因数分解的唯一性无法成立的例子。」
我的话让蒂蒂松了一口气。
「但是与其说『很多种』，不如用『复数个』或『2个以上』的方式表现。这是因为……」
「……因为比较严密？」蒂蒂马上接下去。
「没错，『很多种』这种表达方式并不严密。几个以上算是很多？这样界线就很模糊。」
「学长……我似乎也要先整理一下我的脑袋才行了。关于『定义』、『举例』、『质数』、『质因数分解』、『唯一性』……还有严密的表达，在数学里用词也是很重要呢！」
「没错！你很聪明。在数学里语言是很重要的，要尽可能避免误会，所以数学才会使用严密的用语，而其中最严密的语言就是算式。」
「算式……」
「那么进入数学的语言——算式的话题吧。因为要用到黑板，我们到下面去。」
我走向大型教室的前方，蒂蒂则跟在后面，才刚走几步就听到一声「啊！」接着我的背后感受到一阵冲击。
「哇！」
「对……对不起。」
蒂蒂被楼梯绊倒，撞向我的背后，在两个人快要跌倒的时候，我总算站稳脚步，真危险。
2.5.2 绝对值的定义
「……那么接下来，你知道绝对值吗？」我们面向黑板并排站着。
「嗯，应该知道。5的绝对值是5，-5的绝对值也是5，去掉负号就好了吧。」
「嗯~~那么我写出x的绝对值定义，你觉得这样可以接受吗？」我在黑板上列式。
「啊……这样表示的话，我就想到问题了。既然是x的绝对值，把负号拿掉还出现-x不是很奇怪吗？」
「『把负号拿掉』以数学来讲是很暧昧的说法。虽然能够理解意思，也大致上符合定义。」
「那么『把负的变成正的』呢？」
「一样很暧昧。那么-x的绝对值是什么？」我在黑板上写下式子。「因为要把负号去掉，答案是x吧。所以说就是|-x|=x。」
「不对，假如x=-3的话呢？」
「咦？x=-3的话……」蒂蒂也在黑板上演算。
|-x|=|-(-3)| 因为x=-3
=|3| 所以-(-3)=3
=3 最后|3|=3
「假如像你说的|-x|=x的话，x=-3时，就会变成|-x|=-3。可是实际上是|-x|=-3，所以才会变成|-x|=-x。」
听着我的说明、看着黑板上的式子，蒂蒂细细思索。
「啊！原来如此，x也有可能是负的，这种状况的话，负负就会得正，我看到x就不自觉地想到3或5之类的正数了。」
「是啊，因为x前面并没有任何符号表示，所以通常不会想到x会等同-3之类的负数，但是这却很重要。特别使用x就是表示即使不用很多实例来说明，也可以具体地定义绝对值。『绝对值就是把负号拿掉』这种说法太过笼统，必须更进一步地确认才行，或许你可能会觉得在挑毛病，不过严密的思考是必要的，习惯这种严密的思考就能习惯算式，甚至是数学也说不定。」
蒂蒂在最前排找了个座位坐下，她一边用手指拨弄笔记本边缘，一边沉思。
而我则在等待她的发言。
「……我的国中生活好像都浪费了。」
「怎么说？」
「我本来觉得我还算用功的。但是我不曾严密地读过课本里面的定义和算式，我的数学一定是念得很松散吧。」
她深深地叹了一口气，表现出一副很失望的样子。
「……我说你啊。」
「咦？」蒂蒂看向我。
「假如你真的这么想的话，从现在开始不就好了。过去的已经过去了，你是活在现在啊，把现在发现的事情在未来改变就可以了。」
蒂蒂突然睁开眼睛，然后站了起来。
「是……是啊，后悔过去的事也没用。迈向未来就好了……谢谢你，学长。」
「嗯，今天就先到这里为止吧，天色也渐渐暗了，接下来的下次再讲解。」
「接下来的？」
「嗯，我放学后大部分都会待在图书室，假如你有什么想问的，到那里找我就可以了，蒂蒂。」
她的眼中一瞬间浮现光辉，很高兴地露出微笑。
「好的！」
2.6 回家的路上
「唉呀，下雨了。」
刚走出校舍门口的蒂蒂望向天空，乌云密布的天空开始下雨。
「你没带伞吗？」
「虽然有看天气预报，不过早上出门太赶，所以就忘记了。不过没关系，只是小雨，用跑的就好了。」
「这样到车站前就会淋湿了。反正顺路，而且我的伞也够大，一起走吧。」
「不好意思……谢谢学长。」
这似乎是我第一次跟女孩子共撑一把伞，我们漫步在柔和的春雨之中，虽然我有点不习惯，不过还是配合着她的步调渐渐地沉稳下来，或许是这阵雨吸收了城市的喧嚣，街道一片静寂。
今天跟她聊了一段时间，感觉很愉快，我也没想到竟然会有个崇拜自己的可爱学妹，和蒂蒂聊天很轻松，从她的表情就可以知道她有没有听懂。
「为什么学长会知道呢？」
「知道什么！？」
「就是……就是今天谈的那些数学，有关我不懂的部分，为什么学长会知道我哪里不懂呢？」
啊~~吓到我了，我还以为蒂蒂会心电感应。
「因为今天谈到的论题，也就是质数和绝对值的部分，我也曾经抱持疑问。读数学的时候，为不懂的地方感到困扰、在想了好久、读了很多书之后，才发现『啊，原来如此！』这是相当不错的体验，在累积这些体验后，会渐渐对数学产生兴趣，进而变得拿手。啊，在前面转弯吧。」
「转弯。是『The Bend in the Road』吧……从这条路也能到车站吗？」
「嗯，从这里转弯、穿过住宅区会比较快到车站。」
「会比较快到吗？」
「是啊，早上从这里走也会比较快喔。」
咦？蒂蒂的速度突然慢了下来，是我走太快了吗？果然要配合步调不太容易。
到了车站。
「因为我等一下还要到书店去，就在这里说再见了。对了，伞先借你吧。」
「啊，就到这里吗？呃……这个……」
「嗯？」
「没……没什么事情。那伞我就收下了，明天我会还你的，今天真谢谢你。」
蒂蒂将两手放在前面深深地鞠躬。
2.7 自家
夜晚。
我在房间里回想今天与蒂蒂的互动，她既纯真又有冲劲，之后应该会继续成长吧，要是能让她知道数学的乐趣就好了。
和蒂蒂说话的时候，我摆出的是教导者的姿态，这与米尔迦说话的时候有很大的不同，米尔迦始终都一直保持主动，或许该说是我一直被教导吧。
拿出米尔迦出的回家作业，竟然被同班同学出回家作业啊……
这个问题只要把n的全部因数找出来就好了，找出来之后再把它们加起来，就成「因数和」了，但是这种回答未免太过无趣，必须寻找更进一步的答案才行……嗯，先将整数n质因数分解。
用午休时1024=2^10的问题将题目稍微广义化，例如先将n以质数的乘幂表现。
n=p^m p为质数，m为正整数
当n=1024时，上式变成p=2，m=10，用同样的方法思考1024的所有因数如下。
1，p，p^2，p^3，……，p^m
所以在n=p^m的状况下，n的「因数和」求法如下。
(n的因数和)=1+p+p^2+p^3+……+p^m
以上，就能回答整数n=p^m的因数和了。
之后再广义化……就是这样，并没有那么难，只要用和质因数分解一样的写法。
正整数n通常能如下质因数分解，设p，q，r，……为质数，a，b，C，……为正整数。
n=p^a×q^b×r^c……× 等一下！
等一下，使用英文字母的话无法做广义性的表现，假如指数部分用a，b，c，……表示的话，很快就会到达p，q，r…了，这样会使算式变得混乱。
要以2^3×3^1×7^4……×13^3这样的形式，也就是质数^正整数的乘积书写。
……既然如此，那就这么做，质数以p0，p1，p2，……表示，而指数以a0，a1，a2……，am表示。像这样以标记0，1，2，3，……，m书写，虽然算式会变得很复杂，但是可以做广义性的表现，在这里m+1代表『将n质因数分解时质因数的个数』，可以改成这种写法……
正整数n可以如下质因数分解，其中p0，p1，p2，……，pm为质数a0，a1，a2，……，am为正整数。
n=p0^a0×p1^a1×p2^a2×……×pm^am
而当n为上述结构时，n的因数则以下列表示。
p1^b0×p1^b1×p2^b2×……×pm^bm
其中b0，b1，b2……，bm为整数，且符合以下条件。
b0=0，1，2，3，……，a0的其中任一数
b1=0，1，2，3，……，a1的其中任一数
b2=0，1，2，3，……，a2的其中任一数
……
bm=0，1，2，3，……，am的其中任一数
……嗯，虽然写得很完整，但是相当罗唆，简单来说就是质因数的指数随着0，1，2，……一直变化就是因数了，通常要广义化都需要很多的文字叙述。
而广义化到这里，接下来就简单了，只要把因数全部加在一起就是因数和。
……不对不对，这并不是『全部因数的和』』而是因数中按照质因数乘幂排列的数字和，实际的因数应该是像……
p0^b0×p1^b1×p2^b2×……×pm^bm
……将质因数的乘幂全部组合之后，挑选出来合并在一起，这才是正确的和，用语言说明很难理解，就用算式表达吧。
还能不能再写得更简洁一点呢？……嗯……不过这是答案没错。
2.8 米尔迦的解答
「正确解答，虽然看起来很复杂。」
隔天米尔迦看到我的答案时很干脆地下结论。
「有办法写得更简洁吗？」
「可以。」米尔迦立刻回答，「首先，在和的部分可以用下面的式子代替，限定1-x≠0的状况下……」米尔迦一边回答，一边在我的笔记本上写下……
1+x+x^2+x^3+……+x^n=1-x^(n+1)/(1-x)
「原来如此。」我说。这是等比数列的求和公式。
「马上就可以证明。」米尔迦继续说。
1-x^(n+1)=1-x^(n+1) 两边是同一个算式
（1-x)(1+x+x^2+x^3+……+x^n)=1-x^(n+1) 将左式因数分解
1+x+x^2+x^3+……+x^n=1-x^(n+1)/(1-x) 两边同除1-x
「这样一来，你写的乘幂部分的和就全部变成分数了。然后积的部分就用Π。」
「Π是π的大写……」我说。
「对，但是这和圆周率没关系。Π是∑的乘法形式。只是刚好积(Product)的第一个英文字母P的希腊文字是Π而已，而同样和(Sum)的第一个字母S的希腊文字是∑一样，Π的定义式如下。」米尔迦继续讲解。
「用Π的话，积的部分就可以简洁地表示。」她说道。
「原来如此，虽然变短，不过文字也变多了。话说回来，米尔迦你今天会去图书室吗？」我问。
「不会，今天要去英英那里练习，她作出新曲子了。」
2.9 图书室
「学长你看，我从国中的课本里把定义全部抄下来了。这样我就可以自己练习举例了。」
蒂蒂找到在图书室算数学的我，并笑着摊开笔记本。
「喔~~真厉害。」竟然一个晚上就做好了。
「我很喜欢做这个喔，就像做单字本一样……重新看过课本一次后我才发现，算数和数学有很大的不同点，就是式子里是否有文字，对吧，学长？」
2.9.1 方程式与恒等式
「……那么，说到关于文字与数学公式的话题，就来谈谈方程式与恒等式，蒂蒂有解过这个方程式吧？」
x-1=0
「啊，有的，答案是x=1吧。」
「嗯，这样x-1=0这个方程式就解开了。那这个方程式呢？」
2(x-1)=2x-2
「好的，我列式算算看。」
2(x-1)=2x-2 这是题目
2x-2=2x-2 将左边展开
2x-2x-2+2=0 再将右边移项
0=0 计算结果
「咦？变成0=0了。」
「实际上2(x-1)=2x-2这个算式不是方程式而是恒等式。将左边的2(x-1)展开，就会变成和右边的2x-2一样。也就是说，无论x带入任何数，这个算式都会成立。正因为它永远都成立，所以叫做恒等式，更精确的说法是对x的恒等式。」
「方程式与恒等式不一样吗？」
「不一样，所谓的方程式是『当x代入某数时，此算式成立』，而恒等式则是『无论x代入任何数，此算式皆成立』，两者相当不同，由方程式衍生出来的会是『求出能让此算式成立的某个数』这种问题，而恒等式衍生出来的则是『此算式是否代入任何数皆成立？』变成要证明是否为恒等式的问题。」
「原、原来如此，之前都没有注意到有这种差别。」
「嗯，通常是不会注意到的，不过注意一下会比较好，毕竟大部分的公式都是以恒等式的形式出现。」
「有办法一看到算式，就知道它是否为恒等式吗？」
「有时候可以有时候不行，有时候也必须从叙述中判断，也就是说，必须去判断写这个算式的人到底是想要写方程式还是恒等式。」
「写算式的人……」
「当一个算式在变化的过程中，都算是恒等式，来看看这个算式。」
(x+1)(x-1)=(x+1)·x-(x+1)·1
=x·x+1·x-(x+1)·1
=x·x+1·x-x·1-1·1
=x^2+x-x-1
=x^2-1
「一直都用等号连接，像这样无论x代入任何数，等式都必然成立，也就是变成了一连串的恒等式，一步一步地慢慢来，最后就能得到下面这个恒等式。」
(x+1)(x-1)=x^2-1
「原来如此。」
「这一连串的恒等式就是为了要让人理解才把算式的变化像慢动作一样表现。所以不要有『啊，好多算式喔』这种负面想法，一步一步慢慢了解就好……知道了以后来试试看这个算式。」
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
=0
「两个等号之中，第一个等号构成了恒等式，也就是『x^2-5x+6=(x-2)(x-3)对所有x皆成立』，而第二个等号则是构成方程式。因此上面这个算式全部代表『用(x-2)(x-3)=0来代替x^2-5x+6=0求解的意思』。」
「喔~~原来是要这样理解啊……」
「除了方程式与恒等式，还有定义式。当一个复杂的式子出现时，将它赋予一个名字，进而简化式子，要赋予名字的时候就使用等号，定义式无法像方程式那样可以解开，也不用像恒等式一样需要证明，只要自己方便就可以了。」
「所谓的定义式，可以举个例子吗？」
「譬如将有点复杂的式子α+β赋予s这个名字。所谓命名——也就是定义——就像下面的式子。」
s=α+β 定义式的例子
「学长，我有问题！」
蒂蒂活泼地举起手，由于距离很近，即使不用举手也没关系，真是个有趣的女孩啊。
「学长，到这里我已经快不行了，为什么要用S呢？」
「其实用什么都可以。只是取个名字，不管是s还是t都行，当你定义s=α+β之后，后面要表示α+β时只要用s来代替就可以，假如能善用定义，就能将算式表现得清楚易懂。」
「我知道了，那α和β又是什么呢？」
「嗯，这是指在别的地方被定义的文字。当写成s=α+β的时候，一般就是指用等号左边的文字来将等号右边的算式命名，也就是说，在定义好α和β构成的算式中，可以用s取代。」
「定义式用什么名字都可以吗？」
「是的，基本上什么都可以，但是不能用已经被定义成其他意思的符号。举例来说，当已经定义s=α+β，倘若之后又定义s=αβ，那阅读的人就会混乱了。」
「说得也是，这样就没有命名的意义了。」
「还有，若是使用常出现的符号，例如圆周率的π或是虚数单位ι等等，也会变得很奇怪。当算式中出现新的符号时，先别急，可以先想想『啊，这是不是定义式呢？』。假如文中有出现像『将s定义为以下……』或是『使α+β为s』之类的说明，那就一定是定义式了。」
「原来是这样……」
「是啊，蒂蒂。这次就试着找出数学的书中含有文字的等式吧，像方程式、定义式，或是其他的式子。」
「好的，我会试试看。」
「数学的书里有很多的算式，这些算式都是某人为了传达自己的想法写下的，这些算式的背后一定会有传达这些讯息的某人。」
「传达讯息的某人……」
2.9.2 积的形式与和的形式
「接下来，在阅读算式的时候，注意算式整体的形式是很重要的。」
「整体的形式？是什么意思？」
「譬如这个方程式。」
(x-α)(x-β)=0
算式的左边是乘法，也就是积的形式，一般来说，构成积的每个算式被称为因式或因数。
(x-α)(x-β)=0
因式 因式
「所谓的因式和因数，跟因式分解有关系吗？」
「有的，因式分解是将算式分解为积的形式，质因数分解则是分解成质数的积的形式。通常会将乘法的×号省略，所以下面3个算式的意思是一样的，都是相同的方程式。」
(x-α)×(x-β)=0 使用×的时候
(x-α)·(x-β)=0 使用·的时候
(x-α)(x-β)=0 省略的时候
「好的。」
「然后由于(x-α)(x-β)=0，所以两个因式之中，至少会有一个等于0，这是因为积的形式导出来的结论。」
「我懂了，由于两数相乘结果为0，所以其中会有一个为0。」
「在叙述上，将『其中一个为0』用『至少会有一个为0』比较好，因为有可能两边都是0。」
「啊，『至少会有一个为0』也是一种严密的表现吗？」
「没错。那么，当两边至少会有一个为0，就表示x-α=0或x-β=0成立。换句话说，x=α，β就是这个积方程式的解。」
「好的。」
「再来试着将(x-α)(x-β)展开，你觉得下面这个算式是方程式吗？』
(x-α)(x-β)=x^2-αx-βx+αβ
「不对不对，这是恒等式。」
「很好，展开之后就从积变成和了，左边是积的2个因式，右边是和的4个项。」
「项？」
「构成和的每一个式子称为项，为了让你容易懂，我用括弧括起来，就像这样。」
「不过这算式还没经过整理，看起来有点乱，你要怎么整理呢？」
x^2-αx-βx+αβ
「是的，把-αx或-βx这一类带有x的……」
「不是『带有x』，要念成『项』喔。像-αx或-βx这些只含有一个x的项称为『对x的一次项』或是直接称为『一次项』。」
「好的，将『对x的一次项』整理过后就变成这样子了。」
「就是这样，关于项的说明这样就对了，不过通常会再把负号移到外面。」
x^2-(α+β)x+αβ
「蒂蒂，你知道像上述把算式变形称为『整合同类项』吗？」
「我知道『整合同类项』，不过之前都没有特别留意。」
「那我继续出题，下一个算式是恒等式呢？还是方程式？」
(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβ
「这是展开之后整合同类项，对所有x皆成立的话……是恒等式。」
「正确答案……那么再往前，首先思考这个方程式吧，这次是积的形式。」
(x-α)(x-β)=0 积的形式的方程式
「使用刚才的恒等式，将方程式变成下面这样。这就是和的形式的方程式。」
x^2-(α+β)x+αβ=0 和的形式的方程式
「这两个方程式虽然形状不同，却是同样的方程式，只不过是用恒等式将左边的算式改变型态而已。」
「是的。」
「当我们看到积形式的方程式时，就要想到方程式的解为x=α，β，而和形式的方程式的解同样也是x=α，β，毕竟是同样的方程式。」
「简单的二次方程式只要用看的就能解答，例如你比较下面这两个方程式，是不是长得很像？」
x^2-(α+β)x+αβ=0 (答案是x=α，β)
x^2-5x+6=0
「确实很像。α+β会等于5，αβ会等于6。」
「对，也就是说x^2-5x+6=0的解，只要找出两个数相加会等于5，相乘会等于6即可。换句话说，x=2，3。」
「的确是这个答案信。」
「积的形式与和的形式都是算式的形式之一。和的形式=0有时并不容易解，但是积的形式=0时就一目了然了。」
「……啊，好像有『懂的感觉』了，『解方程式』和『做出积的形式』有很大的关系吧？」
2.1 0 数学公式的背后是谁?
「为什么学校的老师没办法像学长一样教得那么仔细呢？」
「因为我和你是在对话，当你有疑问的时候立刻问我，而我立刻回答，所以才会觉得比较好懂。因此才能一步一步地向前迈进，不要只是听老师上课，不懂的地方也可以请教老师……原本回答问题就是老师的专门啊。」
蒂蒂认真地听着我说话，然后像突然想到什么似说出：
「学长读书的时候碰到不懂的地方会怎么办？」
「思~~假如一直读都不懂的话，就在书上先做个记号，然后继续往下读，读一阵子之后，再回到原先做记号的地方读一次，再不懂，就再往下读，或是读其他的书，反覆来回好几次，以前我有碰过无论怎么想都想不出来的算式展开，在经过四天的思考后认为绝对是它写错了，所以我就向出版社询问，结果真的是印错了。」
「好厉害……不过像这样慢慢想不是很花时间吗？」
「是很花时间、非常花时间，不过这是当然的，想想看，在算式背后都有一段历史，当我们在读算式的时候，就像是和无数的数学家格斗，会花时间理解是一定的，当我们展开一道算式，就是超越了几百年的时光；在我们面对算式时，我们都是个小小的数学家。」
「小小的数学家？」
「是啊，为了要成为数学家而仔细地阅读算式，不只是读，还要动手写。我时常都在怀疑自己是否真的理解了，所以我会用写的确认。」
蒂蒂点头兴奋地说：
「学长说的『算式就是语言』，我也感觉到了，在算式的背后有着某人想要传达给我的讯息，这个某人或许是学校的老师，或许是编写课本的人，也或许是几百年前的数学家……不知不觉间就会越来越想读数学了。」
蒂蒂彷佛怀抱梦想似地说出感想。
话说回来，蒂蒂在校门口叫住我，就是希望『想跟我谈谈』。
她边发出了「嗯~~」的声音边伸伸懒腰，然后彷佛自言自语地呢喃：
「啊~~果然我的心被学长的话语……」
说到一半的她急忙用手捣住嘴巴。
「我的话语？」
「不……没事……什么事情都没有……」
蒂蒂的脸上染上了一片红色。
[ 本帖最后由 朽影 于 2008-7-4 21:26 编辑 ]
第3章 ω的华尔滋
数学的本质是自由。
——康托尔
3.1 在图书室
来到夏天。
今天是期末考结束的日子，我正在图书室里推演算式，这时米尔迦进入图书室，笔直地向我走来。
「旋转？」她站在我身后看着我的记事本。
「嗯。」
米尔迦戴着金属框的眼镜，镜片上了一层薄薄的蓝色，这让我意识到眼镜后面那冷静的瞳孔。
「只要思考轴上的单位Vector向哪里移动就能懂了，没必要记吧。」
米尔迦看着我说出结论，她的用语常常很直接，而且还有点怪，总是把向量用Vector表达。
「没关系，只是练习。」
「假如要推演算式的话，做两次θ的旋转就很有趣喔。」米尔迦在我旁边坐下，并靠近我的耳边小声地说，她的θ是用英文theta发音，从舌头与齿间擦过的空气搔着我的耳朵。
「将θ旋转两次，然后将算式展开，再来思考『θ旋转两次就等于2θ的旋转』，可以得到两个关于θ的恒等式。」
米尔迦拿走我手上的笔，在笔记本的右端用小字写上两行式子，同时米尔迦的手也碰到了我的手。
「这是什么?」
看着笔记本上的公式，我在心中回答着(两倍角公式)，但是却没有出声。
「不知道?这是两倍角公式啊。」
米尔迦站起身，我闻到了淡淡的橘子香。
她开始摆起教师的姿态，不等我回答就继续说下去，不过一直以来都是如此。
「将θ角的旋转表示在下面的式子。」米尔迦说。
◎ ◎ ◎
将θ角的旋转表示在下面的式子。
『将θ角连续旋转2次』就相当于上式的平方。
所以『将θ角连续旋转2次』可以视为『旋转2θ』，因此上面的式子就等于下面的式子。
比较算式的内容，可以得到以下两个等式。
也就是说cos2θ与sin2θ可以用cosθ与sinθ表现，将2θ用θ表示的式子，就称为两倍角公式，将旋转以算式呈现并重新解释其中的内容，就可以导出两倍角公式。
用等号表示『2θ旋转一次』与『θ旋转2次』两者相同，发现两种姿态其实是同样的东西时，是一件多美好的事情啊。
◎ ◎ ◎
听着米尔迦说话的同时，我的脑袋在思考着另外一件事情。聪明的女孩与美丽的女孩，当注意到两者其实是同一个人时，是一件多美好的事情啊。
然而我仍旧不发一语，默默地听着米尔迦说话。
3.2 振动与旋转
先不管之前的算式……米尔迦边说边在我的笔记本中写下了这样的问题。
「解得出来吗?」
「很简单啊，数列在1，0，-1之间来回，或是说成振动比较好?」我回答。
「喔，原来你是这样看这个数列的。」
「不对吗?」
「不，你的想法没错，那么……请将这个『振动』用一般项表现出来。」
「一般项……也就是说用n表示an就行了吧。嗯，将状况分类的话就马上有答案了。」
「嗯，是没错，不过这样就不像振动了。」
米尔迦闭上双眼，食指左右摇晃。
「那么接下来思考这个问题，要怎么化成一般项呢?」她张开眼睛问着。
「ι是指根号负1吗?』我提出问题。
「除了虚数单位以外还有别的ι吗?」
「不……算了，先不管这个。这个数列bn在n为偶数时是+1或-1，当n为奇数时为+ι或-ι，这也是振动的一种吗?」
「当然不是，你将这个数列当成是振动?」
「除此之外还有别的理解方式吗?」我问。
米尔迦在闭上眼的一瞬间回答。
「用复数平面思考看看吧，复数平面就是X轴是实数轴，y轴是虚数轴的座标平面，这样的话，全部的复数都能在这平面上以点来表现。」
复数数←→点
x+yι←→(x，y)
将问题3-2的数列bn用复数的列思考的话，1就是1+0ι，ι就是0+1ι。
1+0ι，0+1ι，-1+0ι，0-1ι，1+0ι，0+1ι，-1+0ι，0-1ι，……
将数列bn在复数平面上以点来表示，就会出现这样的图。
(1，0)，(0，1)，(-1，0)，(0，-1)，(1，0]，(0，1)，(-1，0)，(0，-1)，……
「啊，原来如此。就会在菱形……应该说是正方形的顶点间移动啊。」我一边说一边在图上画线。
「喔，你将点连成这种图形啊，确实这样也可以。」
「除了正方形之外还有别的图形吗?」我问。
「你的脑袋出乎意料地硬呢，这种图形呢?」米尔迦回答。
「是圆……」
「没错，是圆，半径为1的单位圆，在复数平面上以原点为中心的单位圆，这是将复数的列表现成单位圆上的点。」
「单位圆……」
「通常单位圆上的点会以这样的复数来表示。」
cosθ十ιsinθ
「唔……对了，θ就是单位向量(1，0)的旋转角啊。」
「没错。我们称θ为幅角，复数与点的对应关系就像……」
复数数←→点
cosθ+ιsinθ←→(cosθ，sinθ)
「将问题3-2的数列视为将正方形……不……将圆周四等分的点。要如何表现这四个等分点呢?」米尔迦对我说。
「θ为90度……也就是说以每弧度π/2增加就行了，幅角为θ=0，π/2，π，3π/2，……也就是说下面四个复数为圆的四个等分点。」我回答。
「没错，如此一来，数列bn的一般项就可以表示成下面的式子，」米尔迦说。
「然后再回到问题3-l的an。」
「你说an的1，0，-1是振动吧，其实那个问题也可以用一样的思考方式解决。」
「咦……为什么?」
「可以用图形来思考，试着将刚才bn那四个等分点投影到实数轴，就可以看到振动的样子，所以说『振动是旋转的影子』。」
「数列an可以有很多种不同的看法，可以当成『单纯的整数排列』，或是『在实数的线上振动的点』，以及『在复数平面上旋转的点』，当你意识到看见的是投影在一次元线上的影子时，你就能想像出在二次元的圆。当意识到所见的是投影时，就能发现更高次元的结构，但是通常并不容易被发觉。」
「……」
「从整数到实数的数线，再从数线到复数平面，不断地思考更高的次元。于是表现就变得简单明了，可以说越简单明了，就越象征『理解』吧。给予一部分的数列，然后思考下一个数，这并不单只是谜题，而是要探究隐藏在一般项之后的结构。」
我说不出话。
「必要的是眼睛，然而不是这个眼睛。」
米尔迦边说边指了指自己的眼睛。
「要看穿结构，需要的是心眼。」
3.3 ω的华尔滋
「那么，下个问题。」米尔迦说。
「这是什么数列?」我说。
「嗯，你还不知道吗？」
这个时候的她并不是在轻视我，而是直率地表现出她的惊讶，就像『你真的不知道你右手的手指是五根吗?』这种讶异的感觉。
然而她的惊讶也让我感到羞愧，不过我将这样的感情放在一旁，回到数学的话题上。
「假如我说『
这3个数会不断地重复出现』这种没意义的答案可以吗?」我一边小心注意她的表情一边回答。「毫无意义的答案。没解答谜题、没认清结构、没抓住本质。」她回答得干净俐落。
「……那这个数列的本质是?」
「本质就是
这3个数有什么意义，虽然就只是这样，不过你不知道这3个数的话，就从一般调查数列的方法开始。」米尔迦说。「一般调查数列的方法……那就试试看等差数列吧。」我开始在笔记本上写下。
对数列
「嗯，还是完全不懂。
「知道了吗?」米尔迦问道，这种时候的米尔迦反而会不可思议地很有耐心，若是解决之道就在眼前的话，她就会一口气向前冲，但是还在摸索时，她就不会着急。
「……还不晓得。」我老实回答。
「你调查数列的工具就只有等差数列吗?」她笑着说。
「除了差就剩比例了。」我回答。
「那就快试试看吧。」
是、是……这次换思考
的
「喔~~!!」结果全部都是
，我兴奋地握着拳头.「你在惊讶什么?」
「因为用比例求出来的数都一样……」
「对吧。数列
的等比数列。实际上这3个数的3次方都是1喔。也就是说，这3个数都满足……x^3=1
这个三次方程式。」
「满足x^3=1……」
「对，因为x^3=1是三次方程式，所以满足它的复数根有3个。你知道这个方程式的解吗?」米尔迦问。
「呖，应该知道。知道x=1的话，就可以把(x-1)因式分解。」我说。
x^3=1 问题的方程式。
x^3-1=0 将1往左边移项，右边成为0。
(x-1)(x^2+x+1)=0 将左边因式分解。
「然后呢?」米尔迦说。
「然后再将x^2+x+1带入二次方程式ax^2+bx+c=0的解法公式
就可以解出来了。」我一边说一边计算。x=
听到我的说明，米尔迦点了点头。
「没错，现在将复数
设为ω。」ω=
「ω^2就等于
……」
「将1后面乘上数个ω的话，就会变成这样的数列。」米尔迦在笔记本上接下去写。
1，ω，ω^2，ω^3，ω^4，ω^5，……
「因为ω^3=1，所以这个数列又能写成下面的模样。」
1，ω，ω^2，1，ω，ω^2，……
「简单来说，1，ω，ω^2，1，ω，ω^2，……就等于
米尔迦似乎很高兴。
「喔……出现了正三角形啊。」
「从周期性联想到圆是很自然的，从圆中寻找不断重复的来源也是很自然的，只看到实数线的人会以『振动』表现，而以复数平面观察的人会注意到『旋转』，并注意到这隐藏的结构，对吧?』
米尔迦的脸上泛上红潮，话也跟着变多。
「到这里为止已经谈过了4平分点与正方形，3平分点与正三角形，再来就是要将他们广义化，变成n平分点与正n边形了，这就是隶美弗定理的过程。」
「隶美弗定理主张『复数cosθ+ιsinθ的n次方会变成复数cos nθ+ιsin nθ』。从图形的观点来看的话，就是『在单位圆上，θ旋转n次会等于nθ的旋转』，你应该能看到在算式的背后有单位圆上的点在旋转才对。」米尔迦用手指指着我，并开始绕起圈圈。
「当隶美弗定理中n=2的时候，就得到了两倍角公式。」
「之后再将两边的实部与虚部用等号连结。」
「就得到了两倍角公式。」米尔迦说。
「你不是正在θ的旋转中畅游吗?既然是畅游，就将旋转的点化成图形、三角函数与复数数列一起享受不是更好吗?」
我被米尔迦的气势压倒，完全说不出话来。
「你从发现了单位圆的3个平分点ω^3=1开始，接着发现誓的幅角、复数平面上的正三角形，还有ω产生的三拍子旋转，也在复数平面上看到了1，ω，ω^2的三人舞蹈……」
米尔迦一口气把话说完，然后露出笑容。
「你看见……ω的华尔滋了吗?」
[ 本帖最后由 朽影 于 2008-7-6 21:18 编辑 ]
第4章 斐波那契数列与生成函数
就我们所知，操作无穷级数来生成数列，
是使用数列最有力的方法。
——葛理翰／柯努斯／巴塔希尼克(陈衍文译／儒林出版社)『具体数学』[21]
4.1 图书室
现在是高二的秋天，我在放学后图书室教学妹——蒂蒂数学，目前正在展开一项简单的算式。
(a+b)(a-b)=(a+b)a-(a+b)b
=aa+ba-ab-bb
=a^2-b^2
我将(a+b)(a-b)展开成a^2-b^2后，向她说明可以把『两数和与差的积等于两数平方的差』这公式记下来，而她则是回答「我懂了，听了学长的教学，感觉原本零碎的知识都整合起来了」这句话。
米尔迦此时正好走进图书室，并直接走近我们，接着她突然踢开蒂蒂的椅子，巨大的声响让图书室里的人都往我们看过来，蒂蒂慌忙站起身，并被米尔迦瞪着直到她离开图书室，而我就这样呆站着目送蒂蒂出去。
米尔迦像没事一样扶好椅子坐下，目光瞄向笔记本，然后拉了拉我的袖子要我坐下，等到我坐下后，米尔迦问：
「推演算式？」
我回答因为学妹有问题所以教她。
米尔迦哼了一声，还将我手里的自动铅笔拿走，在笔记上本不停写着，然后说：「来寻找规律吧。」
4.1.1 寻找规律
「来寻找规律吧。」最先是(1+x)(1-x)的展开，这是(a+b)(a-b)的特殊状况。
接下来将算式(1+x)(1-x)中的(1+x)以(1+x+x^2)代入0
规律很明显，中间项都消去了，只剩下三次项和常数项，用笔算的话会更容易理解，例如(1+x+x^2+x^3)(1-x)会变成下列所示，明显地只剩下两项。
将其广义化，令n为O以上的数，之后则如下所示。
◎ ◎ ◎
……原来如此，不过这并没有想像中有趣，是很常见的展开与广义化，比起这个，我更在意刚刚被踢椅子的蒂蒂现在的状况，米尔迦却说出「到这里为止都很普通」后，就继续写下去。
4.1.2 等比数列的和
「到这里为止都很普通。」那么接下来会怎么进行呢？将刚才的算式再写一次。
在这里将两边同除1-x，由于0不能当除数，所以假设1-x≠0。
到刚才为止都是关于「求积的公式」，而现在则是「求和的公式」。实际上，这就是等比数列的求和公式，说得更清楚一点，是第0项为1，公比为x的等比数列，也就是(1，x，x^2，x^3，……，x^n，……)这个数列从第0项到第n项的和。
「那么，接下来要怎么发展呢？」
◎ ◎ ◎
……我则是回答「会自然想到等比数列的无穷级数吧」，不是到第n项为止的有限和，而是无限的和。「是啊。」米尔迦微笑着回答我。
4.1.3 迈向无穷级数
「是啊，思考无穷级数吧。」
无穷级数1+x+x^2+x^3+……，被定义为这个等比数列部分和的极限。
当x的绝对值小于1，也就是|x|<1时，使n→∞的话，会让x^(n+1)→0，也就是下式成立。
1+x+x^2+x^3+……=1/（1-x）
这样就得到了无穷级数的公式，|x|<1是为了在n→∞时，让x^(n+1)→0的必要条件。
「你不觉得很有趣吗？左边是无穷数列的和，有无限个项，而且还无法全部写出来。可是相对的，右边却只有一个分数，无数项的和竟然以一个分数表现就可以了，这不是简洁到令人愉快吗？」
◎ ◎ ◎
……窗外已经渐渐暗了下来，图书室里只剩下我和米尔迦，米尔迦似乎是兴致来了，不等我回答就接着说：「接下来就继续朝生成函数前进吧。」
4.1.4 迈向生成函数
「接下来就继续朝生成函数前进吧。」
以后就省略了收敛的条件，首先将刚才等比级数的无穷级数当成x的函数思考。
1+x+x^2+x^3+……
在这里为了要让此函数的n次系数更明显，所以将系数写出来。
1x^0+1x^1+1x^2+1x^3+……
像这样，各系数就形成了<1，1，1，1，……>的无穷数列，接下来的对应是……
数列 ←→ 函数
<1，1，1，1，……> ←→ 1+x+x^2+x^3+……
也就是说，数列<1，1，1，1，……>与1+x+x^2+x^3+……函数可以当成是一样的，由于1+x+x^2+x^3+……=1/(1-x)，所以将其如下置换。
数列 ←→ 函数
<1，1，1，1，……> ←→ 1/(1-x)
这种数列与函数的对应可以如下广义化。
数列 ←→ 函数
这种与数列对应的函数称为生成函数，就是将分散的无数项集合成一个函数，生成函数即是x乘幂的无限和，也就是被定义为幂级数。
◎ ◎ ◎
……说到这里，米尔迦意外地安静下来，她像在思索似地保持沉默闭上双眼、缓缓地呼吸.
为了不打扰她，我只是在一旁静静地看着，看着她嘴唇美好的曲线、数列与对应的函数、金属框的眼镜、等比数列的无穷级数……以及生成函数。
米尔迦张开双眼。
「现在是在思考数列与对应的生成函数……吧？」米尔迦以温柔和缓的声音说着，「若是能求出生成函数的闭公式，则此闭公式也会与数列对应。」
「所以我稍微想了一下……」她说着说着，声音也像是在透露不能被别人知道的宝藏场所一样渐渐变小，并将脸靠近我，可以闻到她身上淡淡的橘子香。
「从现在开始，要在两个国度间来回奔跑。」米尔迦细语。
为了不听漏这些秘密的话语，我竖起耳朵，不过……两个国度？
「我想抓住数列，但是要直接抓住是很困难的，这时候就要从『数列的国度』到『生成函数的国度』，之后再回到『数列的国度』』这样或许就能抓到数列……」
「现在是闭校时间。」
突如其来的声音让我们都吓了一跳，凑在一起专心讨论的我们完全没有注意到图书管理员瑞谷老师站在我们身后。
4.2 抓住斐波那契数列
这是我们往附近的饮料店移动，点了饮料后继续数列的话题，「抓住数列？什么意思？两个国度又是什么？」对于我的疑问，米尔迦用手扶正眼镜，说了声「是啊」后开始讲解。
4.2.1 斐波那契数列
「是啊，这比喻是稍微异想天开了点。『在两个国度间来回抓住数列』就是『使用生成函数求出数列的一般项』的意思。」
现在来看看旅行地图吧，首先先求与数列对应的生成函数，再来将生成函数变形做出闭公式，然后将闭公式以幂级数展开求取数列的一般项，也就是说，经由生成函数可以发现数列的一般项。
那么就以典型的斐波那契数列来思考，你知道斐波那契数列吧。
<0，1，1，2，3，5，8，……>
这是将临接的两项相加而得到下一个数的数列。
0，1，0+1=1，1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，……
虽然也有从1开始的情况，不过现在就从0开始。
将斐波那契数列的一般项设为Fn。Fn等于0，F1等于1，当n≥2时，
，也就是说Fn被定义为一种递移公式。
这个定义能将斐波那契数列『相邻的两项相加而得到下一个数』的特性充分展现，而且如同F0，F1，F2，……一样，斐波那契数列可以用计算循序渐进算出答案，但是并无法表现出Fn为『对n的闭公式』，也就是Fn并不是直接使用n的式子，这就是我所说『未捕捉』的状态。
当问题是「斐波那契数列的第1000项为何？」时，就必须以F0+F1求得F2，F1+F2求得F3，持续计算到F998+F999最后得出F1000，要用递移公式求斐波那契数列就必须经过n-1次的加法，这样太麻烦了，我希望能以Fn表示『对n的闭公式』，『对n的闭公式』概略来讲就是『将已知的计算过程在有限的次数内组合而成的公式』。
我希望以Fn表示『对n的闭公式』，来抓住斐波那契数列。
4.2.2 斐波那契数列的生成函数
那么，将斐波那契数列对应的生成函数当作F(x)，也就是说，对应关系如下：
数列 ←→ 函数
将F(x)的系数x^n设为Fn，可以具体地写成下列算式，这样我们就到了生成函数的国度了。
接着要调查函数F(x)的性质，由于函数F(x)的系数Fn是斐波那契数列，活用这一点似乎就可以看出关于函数F(x)的有趣性质。
斐波那契数列的性质是什么？当然是递移公式
，要好好利用这个公式，Fn-2，Fn-1，Fn这些系数则在F(x)如下登场。
虽然想将Fn-2跟Fn-1相加，但是由于x的次数不同而无法相加，到底该怎么办？
◎ ◎ ◎
……米尔迦看向我。嗯，的确，x的次方不同的话就无法相加，次数不同就无法整合，不过本来数列与生成函数的对应，就是要避免x的次数混淆吧？数列与生成函数要如何对应，真的会有这么有趣的事情发生吗？米尔迦马上说出「很简单」这句话。
4.2.3 求闭公式
「很简单。」
x的次方不同的话，就将不足的部分补上x就好了，乘法在指数上就变成加法，也就是所谓的指数法则。
这样就能对函数F(x)使用斐波那契数列的递栘公式了，分别观察F(x)乘以x^2，x^1，x^0的式子吧。
这样次方就整合了，展开式A，B，C进行接下来的计算，如此一来，同次方的系数就可以使用F(x)的递移公式。
式子A+式子B-式子C
计算的时候，将左边如下处理。
(左边)=F(x)·x^2+F(x)·x^1—F(x)·x^0
=F(x)·(x^2+x^1-x^0)
然后右边如下。
右边留下一开始的F0x^1-F0x^0-F1x^1，其他会被全部消去，这是因为依照斐波那契数列的递移公式，Fn-2 + Fn-1 - Fn会等于0，可以爽快地将它们消掉。
已经不需要用x^0或x^1这种麻烦的写法了，回到1与x，然后用F0=0与F1=1代入，会得到下列式子。
F(x)·(x^2+x-1)=-x
将两边同除x^2+x-1后整理，就得到F(x)的闭公式，这就是F(x)的模样。
F（x）=x/（1-x-x^2）
斐波那契数列的生成函数可以变成如此单纯的闭公式真是令人愉快，毕竟这个算式中可是包含了无限延伸的斐波那契数列，很简洁吧。
<0，1，1，2，3，5，8，……> ←→ x/（1-x-x^2）
4.2.4 用无穷级数表示
接下来我们思考斐波那契数列的生成函数F(x)，将F(x)的闭公式以x的无穷级数表示的话，其n次的系数应该就会变成Fn。
所以说，下一个目标就是将下式以x的无穷级数表现。
x/（1-x-x^2）
我们之前曾将分数形式的下式化成x的无穷级数。
所以，是否能将x/（1-x-x^2）化成与了1/(1-x)类似的形式呢？假如可以的话，我们就能从生成函数的国度回到数列的国度了，还会带着斐波那契数列的一般项当作土产，到底有没有办法呢？
◎ ◎ ◎
……米尔迦偷偷往我看来。对了，再来将生成函数F(x)以无穷函数的形式表示的话，就能得到斐波那契数列的一般项吧，我专注在生成函数的形式上，想将它的构造看透。
F(x)=x/（1-x-x^2）
分母1-x-x^2为二次式，总之先将1-x-x^2因式分解看看，我开始在笔记本上计算，米尔迦只是看着我动笔。
假设未知的定数r，s，可将1-x-x^2如下因式分解。
1-x-x^2=(1-rx)(1-sx)
当如上因式分解后，就可以如下让分数和在通分时，刚好使分母成为1-x-x^2。
为了让此计算式等于x/（1-x-x^2），就必须决定r，s，来试着计算看看。
嗯，好好选择r，s的话，分母1-(r+s)x+rsx^2这边似乎可以变成1-x-x^2，但是分子2-(r+s)x的部分无法变成x，原因是常数项的2无法消掉。虽然很可惜，然而还是不行，真遗憾……
在我低喃的同时，米尔迦却说出「这样的话，之后就没问题了」这句话。
4.2.5 解决
「这样的话，之后就没问题了。」
将分子也代入参数，也就是说，代入R，S，r，s这4个未知常数形成下列式子。
然后计算。
为了让下式成立，要决定R，S，r，s这4个常数。
比较两边结构，会发现只需要解出以下的联立方程式即可。
有四个未知定数与四个独立的式子，试着解出这个联立方程式吧，只剩下动手了。
首先将R与S以r与s表示。
这样就快得到将F(x)以无穷函数的形式表示的方法了，为了之后能求出r，s必须继续算下去。
整理之后就变成这样。
这样就能将斐波那契数列的一般项以r，s表示。
之后就剩求出r，s了，r与s的联立方程式如下：
要以一般解联立方程式的方式来解也可以，但是和为1且积为-1的两个数r，s，会等于方程式x^2-(r+s)x+rs=0的解，也就是所谓的「二次方程式的解与系数的关系」，理由则是由于下面的因式分解：
x^2-(r+s)x+rs=(x-r)(x-S)
也就是说，从r+S=1，rs=-1，可以得到x=r，s为以下方程式的
x^2-(r+s)x+rs=x^2-x-1
=0
利用二次方程式解的公式，可以得到以下结果。
假定r>s，则……
可以得到斐波那契数列的一般项Fn如下。
好，这样就解决了。
4.3 回顾
……我还是无法接受，真的是这个答案吗？毕竟斐波那契数列全部都是整数，我不认为一般项会出现根号5。
脸上浮现满足表情的米尔迦一口气将已经变凉的咖啡喝完，对于我的疑问则是回答：「要试试看吗？」
那么，就以n=0，1，2，3，4为例来验算。
0，1，1，2，3，确实是斐波那契数列。喔~~原来如此，实际计算的时候，分子跟分母会同时将根号5消掉啊！！
嗯，真厉害，我一边喝着咖啡，一边回顾今天的整个流程，我们想求出斐波那契数列的一般项(也就是对n的闭公式)，为此依着以下的顺序前进。
(1)思考与斐波那契数列的Fn的系数有关的生成函数F(x)。
(2)求函数F(x)的闭公式(在这里为对x的闭公式)，这里使用了斐波那契数列的递移公式。
(3)将函数F(x)的闭公式以无穷级数的形式表示，这时候的系数x^n为斐波那契数列的一般项。
也就是说，使用与数列系数相同的函数——生成函数——来「抓到数列」了，原来如此……不过，还真是漫长的旅途啊。
接着米尔迦开始说：「生成函数是操作数列的有效方法。原因在于，我们熟知的函数解析方法都能在生成函数的国度里发挥效用，而在函数中培养的技术也能活用在数列的研究中。」
我边听着米尔迦说话，边担心别的事情。在计算无穷级数的时候，变更和的顺序不是不太好吗？米尔迦……这真的没问题吗？
「不清楚说明条件的话确实不好，不过这次就不要计较了，把使用生成函数发现的东西当成秘密，改用数学归纳法证明得出的一般项不就可以了。」
米尔迦爽快地回答。
……在展开长长的算式时，
使用生成函数这个重要的手段，
是为了要表示最初找出这个等式的方法。
——高德纳『The Art of Computer Programming』 [22]
第5章 算术平均数与几何平均数的关系
一切创造的喜悦，
都在可能立即消失的边缘线上徘徊。
--霍夫斯塔特『メタマジツク·ケ一ム』 [5]
5.1 在『学仓』
隔天。
放学后，我急忙走在校园的树荫道中，一边快步前进一边从口袋中拿出纸条，我再度读了一次纸条，上面只写了一行字。
今天放学后，我在『学仓』等你。 蒂德菈
穿过树荫道，进入别馆的大厅--又称为『学仓』--的同时，蒂蒂已经在入口等我了。
蒂蒂一看到我就急忙低下头。
「昨天真是非常抱歉，那个……」
「不，该道歉的是我才对。总之先进去里面吧，这里太冷了。」
『学仓』是个舒适的空间，除了有福利社外，各处也放置着桌椅，可以轻松愉快地聊天，今天人还不是很多，别馆楼上是艺术系社团的社办，可以听见有人在里面练习长笛。
我在自动贩卖机买了一罐咖啡，并找了个适当的位置坐下，蒂蒂则坐在我的对面。
蒂蒂是高中一年级，和我同个国中出身的学妹，虽然是这么说，不过我国中时并不认识她。
「我……昨天吓了一大跳，所以什么都没说就直接回去了，真是非常抱歉。」蒂蒂深深地低下头。
「不，我才应该道歉。这个……有很多原因……」
蒂蒂很紧张地看着我，我则是以微笑回应。蒂蒂的眼睛又大又圆，可是身材却非常娇小，给人的感觉像是在玩弄核桃的松鼠，蓬松的尾巴似乎十分适合她。
「那、那个，学长。学、学长是不是和那位学姊在交、交往？」
「交交往？」
「不，和她……正在交往吗？」
「啊，米尔迦啊，没有，我们并不是在交往。」
米尔迦。
我的心中浮现出她的模样，也更加确认了答案，嗯，我们并没有在交往。
「不过，确实是因为我厚脸皮地坐在学长旁边，才会……发生那种事。」蒂蒂边注意我的脸色边说。「然后那个……假如，不会造成学长麻烦的话……之后还可以请你继续教我数学吗？」
「嗯，可以啊。假如还有想问的问题，随时都可以来问我，就像之前一样……你给我这封信就是为了这件事吗？希望我之后能够继续教你？」
我看着纸条，蒂蒂点点头。
「特地叫你出来真是对不起，虽然可以直接到图书室去，不过我怕又像昨天那样……」
像昨天一样再被米尔迦踢一次的话，确实会受不了吧。
「但是……那个……假如再让学长教我的话，那位学姊还会……用脚碰我的椅子吗？」
听到蒂蒂奇怪的用语后，我不禁露出苦笑。
「米尔迦啊，不晓得……或许会用脚碰椅子吧，该怎么说她呢……嗯，米尔迦那边就由我来跟她说明好了。」
蒂蒂听到我的话，终于露出了微笑。
5.2 浮出的疑问
「我从很久以前就有个疑问，不过一直没有提出来一就是昨天学长有提到(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式。我看了参考书，发现书上是写成(x+y)(x-y)=x^2-y^2。」
「嗯，是同样的公式，什么地方有问题？」
「是啊，我在想使用a和b与使用x和y，哪边比较好呢？」
「原来如此。」
「而且，每当看到数学式子时，都会产生『为什么会这样写呢？』的疑问，之后就很难继续算下去了。想要问老师却又不知道到底是不是该问……之后就越来越讨厌数学了。」
「越来越讨厌？」
「我不管做什么事都要比别人多花上一倍的时间，还会不断地提出疑问。不过得到的答案却都是一些难懂的东西，所以就会渐渐地开始厌烦……」
「原来如此。」
「我想我大概不适合学数学吧，就算问数学很好的朋友，也不能理解我到底在烦恼什么，常常被说『这些不用管』，正想说不用管时，又被说『这个要好好注意啊』，到底哪里是该注意的地方，我已经完全搞不清楚了。」
「不，经常抱持疑问反而才适合学数学。」我说。
「假如是英语的话……」蒂蒂继续说着。「单字不懂可以查字典，难懂的惯用句可以死记，文法虽然麻烦，但是和例句一起记就好了，只要有读，多少都能慢慢进步。」
这会不会太单纯了一点？我虽然想这么说，然而为了不打断她的话，我点点头。
「不过，数学就不是这样了，懂的时候很清楚，但是不懂的时候就完全没办法，没有所谓的折衷。」
「嗯~`也是有算到中途都很顺利，结果计算错误的状况。」我回答。
「学长，我想说的并不是这个……啊，对不起。从刚刚开始都是我一直在吐苦水。不能吐苦水、不能吐苦水，我不是想吐苦水……我现在最想做的是多多用功！想好好用功！……这才是我想表达的。」
蒂蒂一边说「很想用功」，一边将拳头握紧。
「我很庆幸能进来这间高中，将来也希望从事电脑相关的工作，但是我想不管朝哪个方向前进，数学都是必要的。所以才会想要努力用功。」
蒂蒂一个人用力地点点头。
「学长通常是怎么用功的呢？」
「有时候是解问题，有时候只是单纯地写写算式而已，譬如说……这样好了，今天我们就一起用功吧。」
「好、好的。」
5.3 不等式
蒂蒂说了一声「失礼了」后，就移动到我旁边的座位，跟我一起看着笔记本，从她的身上微微传来甜甜的香味，啊，是和米尔迦不一样的香味……这是理所当然的。
「那就开始吧，就先以r当实数，讨论r的二次方r^2，你对这个了解多少呢？先想想看。」
对于我的提问，蒂蒂想了几秒。
「因为r^2是平方，所以会大于0……对吧？」
「是的，然而不是『大于0』而是『0以上』才对，『大于0』的话就不包含0了。」
「啊，真的耶，假如r是零的话，r^2也会是零。好的，『r^2为0以上』。」
蒂蒂像是理解似地点点头。
「也就是说，无论r是任何实数，下面的不等式都会成立，对吧？」
「咦？啊，是啊，r是实数的话，r^2就是0以上了。」
「实数r可能是正数、零或是负数，无论是哪种情况，在平方之后都会是0以上，所以r^2≥0成立，这是提到『r为实数』时要特别注意的重要性质，等号成立时就是r=0的状况。」
「请问……这好像是理所当然的吧。」
「是的，理所当然。』从理所当然的地方开始是好的第一步』。」
「啊，好的。」
「不等式r^2≥0对任何实数r皆成立。像这样，无论任何实数皆成立的不等式称为绝对不等式。」
「绝对不等式……」
「从『无论任何数』这种观点来看的话，绝对不等式与恒等式很相似，只是区别在绝对不等式是不等式，恒等式是等式。」
「原来如此。」
「那再继续往前吧。将a与b设为实数，这时候下式成立，能够理解吧？」
(a-b)^2≥0
「嗯……没错，a-b为实数。因为是实数，所以平方会是0以上……啊，请等一下，刚才在r^2≥0的时候有用过r这个字母，为什么这次就要用a和b呢？我每次都不懂为什么要这样做，而在当我在想的时候，老师就继续说下去了。」
「啊，没关系，刚才用的r是实数(real number)的第一个字母，不过也可以像『设x为实数』一样使用x，或是『设w为实数』一样使用w，通常来说，定数的时候会使用a，b，c，变数的时候就会用x，y，z，不过在这里的话都可以，虽然如此，当写作『设n为实数』时还是会吓一跳，毕竟n通常都用在表示整数或自然数……嗯，到这里为止跟得上吗？」
「可以，非常清楚。不好意思打断学长的话，我每次都会很在意使用的文字……不过(a-b)^2≥0这边我已经懂了。」
蒂蒂露出了笑容，闪耀的眼神像是在说(接下来呢？)真是个表情丰富的女孩啊，而且一定要完全理解才会继续下去的这一点也很不错。
「那么，接下来要往哪里前进才好？」
我提出了引导用的疑问，而蒂蒂则用大大的眼睛回答：
「哪里是……哪里啊？」
「什么都可以。理解……
(a-b)^2≥0
之后，你接下来想要了解什么算式，任何东西都可以，试着说说看吧，还是你要写写看？」
我将自动铅笔交给蒂蒂。
「好的……那我就试着展开看看好了。」
(a-b)^2=(a-b)(a-b)
=(a-b)a-(a-b)b
=aa-ba-ab-bb
=a^2-2ab+b^2
「这样可以吗？」
「嗯，可以啊，那现在想想看关于这两个式子。」
(a-b)^2≥0， (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
「唔……」
「即使不是什么很特别的东西也可以说出来，譬如……对所有的实数a与b之类的也可以。」
a^2-2ab+b^2≥0
「因为(a-b)^2为0以上，所以展开的结果也会是0以上吧，蒂蒂。」
看着算式的蒂蒂突然抬起头，眨了眨眼睛之后对我笑着，她似乎很高兴。
「是的，没错……不过之后要怎么做呢？」
「嗯，现在开始试着运算式子，例如将-2ab栘项到右边看看，移项之后-2ab就变成2ab了。」
a^2+b^2≥2ab
「是，这个我懂。」
「再来两边同除以2，然后就会像这样。」
(a^2+b^2)/2≥ab
「嗯。」
「这个式子是什么呢？」
「是什么呢？」
「看看左边，会发现(a^2+b^2)/2就是a^2跟b^2的平均。』
「啊……原来如此。这是将a^2和b^2相加，再除以2。」
「嗯，式子的左边写着a^2跟b^2，在这里我要将右边的ab也一样用a^2跟b^2表示。」
「啊、啊……」
「不，没有为什么一定要这样做的规则，只是有时候我会想这样做而已。」
「啊，好的。」
「下一步会稍微跳得有点快，要注意喔。为了将ab以a^2跟b^2表示，就要变形成下面的算式，你认为这个等式会必然成立吗？」
「这个……平方之后就可以拿掉根号，拿掉根号之后，会回复原来的样子，对，我想应该是必然成立。」
「不，不对，平方去掉根号之后会回复原状的只有0以上的数，ab有可能是负数，所以若是没有设立条件的话这个等式不会成立。」
「唉呀，疏怱条件了。」
「是啊，假设以a=2和b=-2来想就知道了。左边是ab=2·(-2)=-4，右边却是
。』「真的是这样……」蒂蒂一边确认我写的计算式，一边点头。
「那么这次就加上条件，加上ab≥0这个条件的话，下面的等式就会成立了。」
「好的……」虽然蒂蒂这样回答，不过她仍旧专心地思考。
「……等一下，学长，这里怪怪的。这个ab≥0的条件是必要的吗？我还是不懂，当ab<0的时候，这个等式不是也会成立吗？就像下面这个例子，当a=2，b=-2时，左右两边会分别如下。」
「所以左边≥右边会成立喔，学长。」
「真亏你能发现呢，蒂蒂，确实不附上ab≥0这个条件好像也可以，不过要怎么取消这个条件呢？」
蒂蒂想了一下，最后摇摇头。
「……不知道。」
「要取消ab≥0这个条件，就必须证明即使ab<0，这个不等式也会成立。」
「ab<0的时候，a与b其中一边是正的，另一边是负的，那么先假定a>0与b<0好了，现在以满足c=-b的数c思考，因为b<0，所以c>0，由于(a^2+b^2)/2≥ab对任何实数均成立，所以对a和C也成立，所以下式成立。」
「然后将左右分开来看。」
「到这里的讨论是假设『a为正，b为负』，反过来说『a为负，b为正』也一样。根据以上证明，对任意实数a与b，下面的不等式成立。」
蒂蒂看着写在笔记本上的算式陷入沉思，虽然花了一段时间，不过她终于抬起头。
「原来如此，我懂了……啊，还有一点，所谓『任意』是什么意思？」
「所谓『任意』就是『任何其中一个』或是『无论是哪一个』的意思，相当于英文的any，也有用『对所有的……』来表示的方法，英文的话就是『for all』。」
「啊，我知道了，『任意实数』就是指『无论哪一个实数』的意思吧。」
我继续说下去。
「那么这里将两边的式子用a^2跟b^2表示，并将a^2跟b^2以别的名字表现，把a^2设为x，b^2设为y，定义式如下。
x=a^2，y=b^2
「由于x和y都是平方数，所以都是0以上。也就是说x≥0且y≥0，所以刚才的不等式就可以如下列式子表示，应该很清楚了，有看过这个式子吧？」
「……我知道，嗯……这是算术平均数与几何平均数的关系！」
「嗯，就是这样，不等式的左边是『两数相加除以2』的算术平均数(x+y)/2右边是『两数相乘开根号』的几何平均数根号xy，所谓算术平均数与几何平均数的关系就是指算术平均数一定不小于几何平均数。」
「是的，居然从r^2≥0开始，一直推演到公式出来了。」蒂蒂感慨地说出感想。
「说成『公式』就很容易让人有必须死记的印象，容易产生不易亲近的感觉，但是假如常常做算式变化的练习，这种想法就会渐渐淡化。就像在捏黏土，当你越捏，它就越柔软。」
「喔~~原来公式是自己做出来的。」
「与其说是自己做出来的，还不如说是从算式里导出的，其实在数学课本与回家作业里，也有这种推演算式的题目，以后试着多注意看看，这种推演的问题会出现在课本的例题或是练习题中。」
「这样啊……往后我会注意的，原本提到公式就会有『必须赶快记起来』的感觉呢。」
「算式的推导如果一开始就用死记的方法，反而很难记起来，要自己动手计算，然后理解，这是很重要的，没有理解就死记的话，通常是没有用的。」
「原来如此……」
「话说回来，你知道在算术平均数与几何平均数的关系中，什么时候等号会成立吗？也就是说以下式子成立的时候，x与y是什么样的关系呢？」
「咦？『x和y都是0的时候』吗？」
「不对……应该说不完全正确。」
「咦？可是当x=0，y=0的话，左边和右边都会变成0啊。」
「你的想法是对的，但是不一定要x和y都等于0不可，只要x=y就好了。」
「咦？是这样吗？那用x=3，y=3来确认看看好了。左边是(x+y)/2=(3+3)/2=3，右边是
……啊，真的耶。」「嗯，像这样用实例检验是很重要的，『举例是理解的试金石』。」
「那我再用其他的例子试试看，当x=-2，y=-2的时候呢？左边是(x+y)/2=(-2 + -2)/2=-2，右边是
……咦？错了？」「蒂蒂，你忘了x≥0且y≥0的条件喔。」
「唉呀，没错没错，我完全漏掉这个条件，一直想东想西地就忘记它了。」
蒂蒂伸出舌头，敲了敲自己的头。
「蒂蒂，只要注意到这次是从……
(a-b)^2≥0
这个不等式开始，就能知道等号成立的时候是a=b(也就是x=y)的时候。」
5．4 更进一步
「现在将算式捏成另外的样子』虽然一直重复会有点烦人，不过要证明算术平均数与几何平均数的关系』其实只要将
的左边展开就可以了，但是记得x≥0且y≥0。」
「也就是会变成这样。」
「咦？可是这次x≥0，y≥0的条件从哪里来的？」
「因为现在只考虑实数，根号之中x和y都必须是0以上。」
「假如根号之中比0小呢？」
「比0小的话，就变成虚数了。」
「原来如此……」
「那么，稍微再演练一下算术平均数与几何平均数的关系吧，刚才写的没有表现出『算术平均数』和『几何平均数』的语言节奏。」
「语言……节奏？」
「对，现在要将和与积，还有平方根的符号变形。和用x+y，积就用x×y，明白地写出×号，除以2用乘1/2表示，平方根则以1/2次方表现。这样的话，下式就会成立，这也是算术平均数与几何平均数的关系喔，这种写法可以明白地看出两边的相似性。」
蒂蒂立刻举手。
「学长……我还有问题，平方根是吧？『1/2次方』是什么呢？』
「所谓『取平方根』就是指『1/2次方』的意思，虽然说1/2次方可能会让人吓一跳，不过这是定义……一开始从指数的法则思考的话就很合理。」
「1/2次方很合理？」
「我简单说明一下关于x≥0，x的平方根等于x^1/2的事吧，首先思考一下什么是(x^3)^2。」
「(x^3)^2吗？因为是(x·x·x)^2……所以总共是6次方，我想应该是(x^3)^2=x^6。」
「没错，普通演算会像下式一样，次方的次方会以指数的乘法来计算。」
(x^a)^b=x^ab
「这边我了解。」
「那么依照上面的原理来看看下面这个式子，这里a要填什么数比较好呢？」
「因为是指数的乘法，所以a的两倍会是1，所以就是a=1/2。」
「嗯，这是最自然的想法，所以说，仔细看(x^a)^2=x^1，因为x^1等于x，所以这个算式告诉我们『x^a的平方会是x』，使得x^a会是……」
「平方的话会让x成为0以上的数吧……啊，那就是根号x啊！！哇……好厉害！」
「很厉害吧，这样一来，1/2次方就是平方根很合理吧？」
「虽然很不可思议，不过确实感觉很合理。」
「啊，对了，不晓得能不能将算术平均数与几何平均数的关系广义化，证明下面这个式子说不定很有趣。」
「这个式子使用∑跟Π就会变成下面这样，左边是和，右边是积，而算术平均数与几何平均数的关系就是和与积之间的不等式。」
「学长、学长~~虽然好像很有趣，不过我好像被你遗忘了啦。」
5.5 所谓读数学
稍微休息了一下，蒂蒂再度回到我对面的座位，继续谈论关于读数学的话题。
「读数学时最让人觉得厌烦的就是不晓得目标在哪里，就算解开问题也不晓得乐趣在哪里，在家自己读数学很无聊，也不晓得到底将来会在哪里用到……不过问题也不是『到底学数学对将来有什么帮助』这种常常听到的话，只是想知道刚刚学到的算式变形到底和昨天学过、明天将要学到的东西又有什么关系，我希望能看到地图的全貌，但是老师却没有让我看见。」
「……」
「就好像是拿着小型手电筒到一个全黑房间的感觉，虽然可以用手电筒照明前进，但是光能照到的范围却很狭窄，无法知道自己到底走到哪里。前后都是一片漆黑，能看到的只有光照到的一小部分而已，假如真的很困难的话，那也没有办法，可是实际上算式的变化并没有那么难，所以我已经搞不清楚数学到底算是简单还是困难了，单独来看似乎很简单，可是却无法掌握整体，就像没有地图时的困惑与不安。」
「原来如此。」
我能理解蒂蒂的不安，也就是『不晓得接下来会发生什么事』啊。
「学长能够很认真地听我说话，但是我同学就不行了，我虽然也有数学很好的朋友，但是就没办法像现在这样顺利地谈话，每次都会被欺负。当她说『你不要问这些，只要记起来就好了』的时候，我就不想和那些家伙……不，那些人说下去了。」
我就像被蒂蒂的话吸引一样开口：
「我喜欢数学，我会在图书室里不断地看着算式，也会将上课中出现的式子重新组合，让自己能理解与接受，然后一步一步地继续下去，在学习的时候，我会特别注意自己能不能将这些过程重现。」
蒂蒂安静地听我说话。
「学校只能提供学习的素材，老师也只关心考试的事情，不过这些并不重要，我只是想要不断地思考自己有兴趣的事物，这并不是被父母强迫的，无论我推演了什么算式，父母都不会关心，他们只会注意到我是不是坐在书桌前，所以我能做我喜欢的事，不过原本他们就不太会特别叫我念书。」
「那是因为学长的成绩好啊，像我就不行，常常被命令，『快去读书』，真是烦死了。」
「我常在图书室里想事情，会打开笔记本回忆算式，想着这式子为什么非得要这样定义不可，或者尝试改变定义会发生什么事，真正重要的地方必须自己思考，就算抱怨老师或同学也都没有意义。像蒂蒂刚刚所说，当看到算式的时候会想『为什么要这样写呢？』这样想绝对不是坏事，或许这会很花时间，但是不轻易对自己抱持的疑问妥协，努力思考出答案是很重要的，我觉得这样才算是念书，不管是父母、朋友，甚至是老师都没有办法回答蒂蒂自己的疑惑，至少无法完全地回答，他们有时候甚至还会生气，当人遇到自己无法回答的问题时，会展现愤怒，并憎恨提出问题的人，然后回头去嘲笑他们。」
「学长好厉害……昨天在图书室教我的时候也能让我觉得有趣，虽然只是简单的算式变形，却让我有种雀跃的感觉，今天的话我也会当成参考的……请问……学长这些话有跟那位学姊说过吗？」
「那位学姊？」
「……就是米尔迦学姊。」
「啊，嗯，该怎么说，应该说我们聊天的内容更加具体吧，我在图书室计算的时候，有时候米尔迦会凑过来讨论，话题就是正在计算的内容，不过大部分都是她在说话，米尔迦很聪明，我赢不了她，她了解的比我更深更广。」
「我曾经以为学长和那位学姊……在交往，因为你们总是在一起。」
「因为是同班啊。」
「在图书室也总是……」
「……」
「……那个，学长是全年级第一名吧。」
「不是，数学方面是米尔迦第一，而且还有都宫在，整体来说的话都宫是第一。」
「为什么大家都那么厉害呢？」
「因为大家都是喜欢才去学习的，除了都宫体育也好外，我和米尔迦都不擅长运动，先不管米尔迦，我则是很不擅长在大众面前说话，但是我喜欢数学，因为喜欢所以才会去做，就是这样，蒂蒂有喜欢的东西吗？」
「我喜欢英语……非常喜欢。」
「现在你的书包里有放英语的书吧，而且到书店去的时候，会先往英文的书柜走，对吧？」
「没错，学长，就是这样……学长还真清楚。」
「因为我也一样，我的话就会先往数理方面的书柜走，无论是到哪间书店都一样，假如是常去的书店，我连摆放的位置都会记起来，只要看一下书架就知道哪些是新书，就只是如此，我只是做我自己喜欢的事情，只是花时间在自己喜欢的事情上，为喜欢的事情抽出时间，我想任何人都一样，希望更深入、更持续思考自己喜欢的事，所谓的喜欢就是这么一回事吧。」
我彷佛心中某处的开关被打开一样，将一切的感情化为言语表现出来。
「学校里的世界不但窄小而且狭隘，也有很多欺骗小孩的假象，虽然学校之外也有很多假象，但是也有碰到会受伤的真品。」
「学校里都没有真品吗？」
「并不是这个意思，例如说某个老师，你知道村木老师吧？虽然他被说成是个奇怪的人，但是他懂得很多，这点无论是我、都宫或是米尔迦都这么认为，我们有时候会被村木老师提出问题，有时他也会介绍有趣的书给我们。」
蒂蒂歪头思考，我则是继续说下去，我的话匣子一打开就停不下来。
「当你认真追求喜欢的事物时，就会得到分辨真伪的能力，总有一些喜欢大声嚷嚷，或是故作聪明的学生存在，那些人想必习惯表现自我、非常重视自尊，倘若养成用自己的头脑思考的习惯，会去了解事物的本质，就不需要那么强调自我了，即使大声嚷嚷也不会懂递移公式，故作聪明也解不开方程式，无论别人怎么认为、无论被别人说什么，都要思考到自己能接受为止，这是我认为相当重要的事，追求喜欢的事物、追求事物的本质，我认为……」
我停了下来，我说得太多了，因为表现自己而大声嚷嚷的我真是愚蠢，到此为止吧。
蒂蒂慢慢地点了头，她仍然在思考，不知何时，楼上长笛的长音练习已经结束，换成了颤音练习，周遭的人也渐渐变多了，『学仓』开始变得热闹。
「学长……像这样……在你做想做的事时……有个没用的学妹……会打扰到你吗？」蒂蒂用彷佛快要消失的声音说着。
「咦？」
「有个没用的学妹在旁边，会打扰到你吗？」
「不，完全不会打扰、也不会麻烦。能让我说出自己想的事，而且能与人分享，像这样有个不错的谈话对象我非常高兴，我并不会特别想要一个人独处。」
「总觉得好羡慕学长，我虽然也想努力学好数学，但是等级完全不一样。」
蒂蒂轻咬着食指的指甲。
沉默。
过了一会儿，蒂蒂突然抬起头。
「不！不能这样！无论别人怎么样，只要追求自己认为对的就好了吧！学长，我又有精神了！那个……我希望能拜托你，往后……即使只是偶尔也好，请让我继续和学长讨论数学，拜托你！」
蒂蒂用严肃的表情恳求。
「嗯，可以啊。」
没什么关系，大概吧，而且今天好像被蒂蒂『拜托』好几次，也回答『可以』好几次了，一定没问题的，思考中的我看了看大厅的时钟。
「学长今天也要去图书室吗？」
「嗯，是啊。」
「那我也……啊，那个……还是算了，今天我先回去了。假如之后有问题可以再问吗？在图书室或是……在教室的时候。」
「可以啊，当然。」
我又回答了一次。
这时候，有三个女孩从蒂蒂的背后走过，并对她喊了一声「嗨，蒂德菈」。
「嗨！」蒂蒂也转向她们大声地回答。
然后……
蒂蒂用两手按住嘴巴转了回来，并摆出一副「糟了」的表情，她似乎是因为在我面前表现出乎常的一面而感到不好意思，整张脸红到耳根。
在这高中二年级的秋天里，这样的蒂蒂让我觉得非常地可爱。
第六章 在米尔迦的身旁
解析是研究连续，
数论是研究离散，
而尤拉结合两者。
——邓汉[ 14 ]
6．1 微分
我一如往常地在没有人的图书室里推演算式。
米尔迦进来后，毫不犹豫地在我旁边坐了下来，她的身上散发出淡淡的橘子香。她在看了我的笔记本后说：
「微分」
「是啊。」我回答。
米尔迦用手撑着脸在旁边看我计算，她没有说任何话，一直被人看着……我很难继续下去。
「怎么了？」米尔迦说。
「没有……我在想你你在看什么。」我回答。
「你的计算。」她简短的回答。
这样说是没错……
就是因为米尔迦不只是看才麻烦，她的距离感与其他人不同，会从
旁边的座位突然贴近到脸庞附近，假如我用手挡住算式，她就更要一探
究竟。
啊，对了，我想起与蒂蒂的约定了。
『米尔迦那边就由我来跟她说明好了。』
『对了，米尔迦，关於之前那件事……』
『等一下。』米尔迦说完话後把脸朝上并闭上眼睛，形状完美的双唇轻轻开合，似乎是开始思考有趣的事情，这样我就不能打扰她了。
过了七秒，她张开眼，并一边对我说：『微分，简单地说就是变化量吧』，一边在我的笔记本上书写。
◎ ◎ ◎
『微分，简单地说就是变化量吧。』
假设以直线上现在的位置为x，设稍微有点距离的地方为x+h，h不用太大，也就是『最近距离』。
然後来思考f这个函数的变化吧，对应x的函数f为f(x)，然後对应x+h的函数的值为f(x+h)，接下来注意『当距离为h时，函数f会如何变化』。
为了使对比更加醒目，将O也清楚标明，当现在位置为x+O时，f的值就是f(x+0)，当前进到x十h时，f的值就变成f(x+h)。
从x+()前进到x+h的变化量可以用……
『前进後的位置』一『前进前的位置』
求出来，也就是(x+h)一(x+O)等於h，同样地，从x+O前进到x+h时的变化量可以用f(x+h)一fx+O)求出。
在这里要调查对x的函数f，也就是调查瞬间的变化，假如x的变化
量(x+h)一(x十O)变大的话，或许f的变化量也会变大，所以将两者相除
得出比例，这个比例相当於上图斜的虚线斜率。
由於想要知道位置x的变化，所以h必须尽可能地小，让h不断地缩小，考虑h→0的极限。
简单地说，这就是函数f的微分，以图形来看，就是与下图的点与(x，f(x))的切线斜率，越接近斜率大的右上方，f(x)就增加得越快，也就是说，在那个地点变化量很大。
对函数F的『微分』写作Df，换句话说，微分算子D定义如下。
也可以定义成下面的式子，毕竟是同样的东西，无论如何，微分算了D就是从函数中再做函数的高阶函数。
到目前为止都是关于连续世界的话题，x可以自由地滑动，而现在开始要进入离散世界了，既然是离散的世界，也就是像整数一样只能取个别的值，在连续的世界里，考虑的是将x移动『最近距离』的h在f上的变化量，然後将h→0的极限定义为微分，那么，假如将微分移到离散的世界又会如何呢?
6．2差分
……我想著米尔迦的问题，只要在离散的世界里找出相对於连续世界『最近距离』的概念就可以了吧?我环视图书室一圈，然後对坐在身旁的米尔迦说出： 『将「最近距离」换成「最近间隔」思考没错吧?』这个答案，她竖起了食指回答：『没错』。
◎ ◎ ◎
『没错。』
思考离散世界的时候，x+0的『最近距离』会变成x+1的『最近间隔』，不要用h→0，而是用h＝l思考，『最近间隔』就是离散世界的本
质，注意到这点讨论就能顺利地展开。
从x+0到x+l的变化量就是(x+1)-(x+0)，这时函数f的变化量当然就是f(x+1)-(x+0)，在这里也同样取出两者的比例——不过分母原本就是1。
在离散的世界里没有必要取极限，这个式子就是『离散世界的微分』，也就是差分，差分算子△定义如下。
也可以写成下式。
△f(x)=f(x+1)-f(x)
间隔的差……确实是名副其实的△『差分』演算啊。
将连续世界的微分与离散世界的差分并排比较，为了让对比性增强，所以写得很繁琐。
6.3 微分与差分
……米尔迦似乎很高兴，每次听她说话都会不知不觉地被拉到别的世界去。
啊，不过还是要好好和她说清楚。
『米尔迦，上次坐在我旁边的那个女孩……』
她将注意力从笔记本中栘开，转头看向我，脸上一瞬间浮现了疑惑的表情後，立刻又将视线栘回算式上。
『她是我国中时的学妹，然後……』
『我知道。』
『咦?』
『你之前说过了。』
她仍然注视著笔记本。
『然後，有时候我会教她数学。』
『这我也知道。』
『不具体说明就无法传达。』
她说完话就将自动铅笔在指间旋转。
◎ ◎ ◎
6.3.1一次函数x
『不具体说明就无法传达。』不用抽象的(x)，要用具体的函数来思考。
例如说将一次函数f(x)＝x用微分与差分互相比较。
首先是微分。
然後是差分。
微分与差分同样是1，这样就能确定函数f(x)＝x的微分与差分是一样的。
6.3.2二次函数x2
再来思考二次函数f(x)＝x2，这次微分与差分也会一样吗?
微分。
然後是差分。
x2的微分是2x，但是差分却是2x十l，和刚才f(x)＝x不一样，这次的微分与差分并不一致，这样就太无趣了，要怎么做才能让它们互相对应呢?
……『要怎么做?』我因为米尔迦的问题陷入沉思，要如何才能让微分与差分互相对应，但是并没有想到什么好办法，在确定我没有要回答的意思之後，米尔迦用和缓的语调缓缓地开始说明。
◎ ◎ ◎
其实原本就无法用离散世界的x2来对应连续世界的x2，需要用在离散世界中替代x二的这个函数来思考。
试著计算f(x)＝(x—0)(x一1)的差分。
你看，这样就和微分一样了。
也就是说连续世界里x2对应的是离散世界的(x一0)(x一1)。
为了让xn这个乘幂的对应更清楚，就以新的xn这个递降阶乘来思考吧，对应的状况就像这样。
若是写得更冗长，就能更清楚地看见对应的关系。
在这里使用的递降阶乘xn如下定义。
6.3.3三次函数x3
那么这次思考f(x)= x3。
首先是微分。
在离散的世界中，对应x3的是x3=(x-0)(x-1)(x-2)，现在来计算x3的差分。
使用递降阶乘xn的话，就能让微分与差分充分对应。
6.3.3指数函数ex
我们对微分算子D定义了差分算子△，再来为了让微分与差分完全对应，对乘幂xn定义了递降阶乘。
而现在要开始讨论指数函数ex，也就是寻找离散世界的指数函数。
指数函数c如同式子所示，是定数e的x次方函数，定数c是被称为自然对数的底的无理数，其值为2．718281828……虽然这是一个重要的知识，不过现在要站在更广的视点来看它。
指数函数ex在连续世界中有什么样的性质呢?
在这里稍微思考一下与微分关联的指数函数的本质。
指数函数ex最重要的性质就是『即使微分仍然不会改变』，也就是微
分ex所得到的函数仍然是ex不过本来就是为此定义出定数e的，会有这
种结果也是理所当然。
用『即使微分仍然不会改变』这个性质，在使用微分算子D後，
可以用下面这个微分方程式表现。
到这里为止是关於连续世界的指数函数。
现在开始要进入离散世界，将接下来要求的离散世界的指数函数称为E(x)，於是就会希望让E(x)具有『即使差分仍然不会改变』的性质，这个性质在使用差分演算子△後，可以用下面式子表现，这次是差分方程式。
以差分算子△的定义将左边展开。
整理之後得到递移公式。
此递移公式对0以上的整数x会成立，这是函数E(x)的性质。当括弧中减少1，就会对应乘2，这样就能简单地解开这个递栘公式。
最後得到这个式子。
E(0)的性质要怎么定义呢?由於e0＝l，所以定义成E(0)=1是很妥当的，由上式可得对应指数函数ex的函数E(x)定义如下。
所以就能做出以下的对应关系。
离散世界的指数函数是2的乘幂，不觉得对应地非常恰当吗
6.4 往返於两个世界的旅程
在思考『微分差分』之後，这次换『积分和分』吧，这里只写出结果。
◎ ◎ ◎
……我回想著米尔迦的话，我们以连续世界的知识为基础，探索著离散的世界，与其说是追求严密的定义，不如说是追求合适的定义过程，思考对应微分的差分，并以此为基础思考对应xn的xn，再来以无法构成微分方程式的差分方程式找到对应ex的2x。
在两个世界不断来回的旅程让人感到无限自由，这种快乐到底是从哪里来的呢?
听著米尔迦的话，让我觉得虽然我没有办法在她的『最近距离』，但是我希望至少能在她的『最近间隔』。
◎ ◎ ◎
先不管这个……
『米尔迦，刚才我说过的那固女孩，之後也会继续来问问题……』
『那个女孩?』
『我的学妹。』
『名字是?』
『蒂德莅，她之後也会继续来找我问问题……』
『……所以……我不能坐在你旁边了?当米尔迦边写笔记本边问，
她并没有看我。
『咦?啊，不是不是，当然米尔迦什么时候要坐我旁边部行，要做什么都可以，我只是想说不要再踢她椅子了……』
『我知道了。』米尔迦抬起头打断我的话，不晓得为什么她会露出微笑， 『你会在图书室教你的学妹•蒂德莅数学，我记住了，不用担心。』
嗯~~到底是什么不用担心啊?
『回到数学上吧，再来要思考什么呢?』米尔迦说。
[ 本帖最后由 pfkcmk2001 于 2008-9-6 23:45 编辑 ]
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